2022年师大版八年级数学下第二章分解因式.docx

学习必备欢迎下载北师大版八年级数学下学期 2.1 分解因式［本章教材分析］本章分解因式的内容是多项式分解因式中的一部分最基本的学问和基本的方法，它包括分解因式的有关概念，整式乘法与分解因式的区分和联系；分解因式的两种基本方法，即提公因式法，运用公式法；［本章学习目标］1. 明白分解因式的意义及其相关概念；2. 娴熟把握分解因式的最基本方法：提公因式法和运用公式法；3. 敏捷运用分解因式的方法解决相关的实际应用问题；重点、难点：本章的重点是分解因式的两种基本方法， 敏捷运用分解因式的两种基本方法是本章的难点， 分解因式是整式乘法的逆运算，可采纳对比的方法得出分解因式的概念和方法；教学过程： 2.1 分解因式［学习目标］1. 经受从分解因数到分解因式的类比过程；2. 明白分解因式的意义，以及它与整式乘法的关系；3. 感受分解因式在解决相关问题中的作用；整式乘法中的单项式多项式， 多项式多项式的恒等变形是本节内容的学习基础， 多项式的因式分解就是反用乘法安排律，将乘法变形反过来就得到多项式的分解因式；本节内容是本章基础，在分解因式经经常要从分解因式概念入手考察检验分解因式的正确性；［重点、难点］本节的重点是把握从分解因数到分解因式的类比思想方法，难点是懂得分解因式的概念；［学问要点］1. 分解因式把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式；2. 分解因式的意义（ 1）分解因式的对象是多项式；（ 2）分解因式的结果是化成整式的积的形式；（ 3）因式分解的结果要完全，要在要求的范畴内分解到不能再分解为止；［相关学问链接］分解因式与整式的乘法是一个互逆的过程；例如： m a b c ma mb mc是整式的乘法即把几个整式的积化成一个多项式的形式；反过来，ma mb mc m a b c是分解因式即把一个多项式化成几个整式的积的形式；［学习目标］ 2.2 提公因式法1. 经受探究多项式各项公因式的过程，并在详细问题中，能确定多项式各项的公因式；2. 会用提公因式法把多项式分解因式；3. 进一步明白分解因式的意义，加强直觉思维并渗透化归的思想方法；［重点、难点、易错点］重点：分解因式的基本方法——提公因式法难点：求出多项式各项的公因式易错点：多项式的某一项恰为该多项式的公因式时，在提公因式时易把“ 1”漏掉；［学问要点］1. 公因式多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式；2. 提公因式法假如一个多项式的各项含有公因式， 那么就可以把这个公因式提到括号外面， 将多项式写成因式乘积的形式， 这种分解因式的方法叫做提公因式法；3. 公因式的确定取各项系数的最大公约数作为公因式的系数取相同字母（或相同多项式） ，而且各字母（或各多项式）的指数取次数最低的作为公因式的因式；注：当首项为负时，可先提“－”号，各项都变号后再进行公因式的提取；【典型例题】 2.1 分解因式例 1. 判定以下变形是不是多项式分解因式，并说明理由；2（ 1） a4 3a a2 a 2 3a（ 2 ） a2 a 5a 2 3a 10（ 3）x226x 9 x 3（ 4） 3x222xy x x 3x 2y（ 5） x 2 y x x 2 y 1x精析： 此题主要考查熟悉分解因式的意义； 分解因式是把一个多项式化成几个整式的积的一种变形； 这里要留意：一是要化成乘积的形式，二是所得因式应是整式；当然，变形的过程应当是恒等变形；解： （1）不是； a 2 a2 与3a之间不是乘积，而是和的形式；（ 2）不是；原式作的是乘法运算，而不是分解因式；（ 3）是；（ 4）不是；左右两边不恒等，左边三项有公因式 x，提出 x 之后，应当得到 3x－2y＋ 1 这样一个因式；（ 5）不是；这种变形在特别要求，一般不这样分解；x 0时是恒等的，但右边的1 不是整式；如没有x点评：（ 1）多项式分解因式的定义包含两方面的条件：其一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的积的形式， 这里指等式的整个右边化成积的形式； （ 2）判定过程要防止从左到右保持恒等变形；例 2. 求值：（ 1） 31.75 147105.13 6721.25 1 4 710 1 2 62 731.75 21.25 14解： 710 1213 6 2 67 71 410 12 7110 11210 1 1 4 112 721 882 7132（ 2 ） 4a 2 b3 3a2 b3 中 ， 如a2 ， b2 ， 求 它 的 值 ；4ab解：2 3 3a 2 b 34 a2 3a2 b 3a 2 b 3当a 2， b2时，原式22 2 3 20点拨： 这里应用乘法安排律简化运算，实际上就表达了数学中的分解因式的思想；例 3.已知关于x的二次三项式2 x 2mx n分解因式的结果为2 x 1 x 1 ，4求2m 4n的值；分析：由题意知2 x2 mx n2x 1 x1，把 2x 1 x41绽开后与左4边2x 2mx n相同项的系数对应相等，由此求出m， n的值，再进行运算；12 x 1 x解： 42 x 2 1 x 12 4m 1 ， n 12 42m 4n 2 1 4 1 02 4点拨： 依据分解因式的意义，算式的右边只不过是对左边的恒等变形，就右边绽开后，应与左边完全相同， 这是解决此类问题的依据； 2.2 提公因式法例 1. 指出以下多项式中各项的公因式：（ 1） 3x 2 y 56 x 3y 4（ 2 ） 8a2 b 212ab224ab3c3（ 3）15a x y410b x y（ 4） 21a2 b 2x 3y 2314a 3y 2x解：（ 1）3 与 6 的最大公约数是 3，各项相同字母是 x 与 y，而 x 与 y 的指数最低次数分别为 2 与 4，所以公因式为 3x2y4；（ 2）8、12 与 24 的最大公约数是 4，各项的相同字母是 a 与 b，而 a 与 b 的指数最低次幂是 1 与 2，所以公因式为 4ab2；（ 3） 15 与 10 的最大公约数是 5，各项没有相同的字母因式，只有相同的多项式因式（ x－ y），而（ x－ y） 的指数的最低次数为 3，所以公因式为 5〔x－ y〕 3；（ 4） 21 与 14 的最大公约数为 7，各项的相同字母因式为 a，由于33y 2x32x 3y32x 3y所以各项的相同的多项式为 （2x－ 3y），而 a 与（ 2x－ 3y）的指数最低次数分别为 1 与 2，所以公因式为 7a〔2x－ 3y〕 2；点评： 确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定” ：（ 1）定系数，即确定各项系数的最大公约数； （ 2） 定字母（或多项式） ，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式） ；（ 3）定指数，即各项相同字母因式（或 相同多项式因式）的指数的最低次数；例 2. 把以下各式分解因式；（ 1） 4 m3 n 2 10mn 4解：2 mn2 2 m 2 2 mn2 5n 22 mn22 m 25n2（ 2 ）15x 3y 26x 2 y 33x 2 y 215x 3 y 2解：6x 2 y 33x 2 y23x 2 y 2 5x3x 2 y 2 2 y3x 2 y 2 13x 2 y 2 5x2 y 1（ 3） 2x x y 3 x y解： x y 2 x x y 3x y 2x 3（ 4 ） a a b b b a解： a b a a b ba b a b2a b（ 5） m m n a b 3n n m b a解： m m n a b3n m n a bm m n a b 3n m n a bm n a b m m n a b 3nm n a b m 3n（ 6） 2m n a2 b 3c3 m 4n3c a 2 b解： 2m n a2b 3c3 m 4n a2b 3c2 mna2 b3c3 m4n a 2 b 3ca2 b3c2 mn3 m4 na a5 m2 b2 b2 n3c 3ca2 m 5m2 b2 n 10n3c3m12n注：如化简后有公因式应连续提公因式；23（ 7）6m a b43m a b解： 3m a b3 2m33m a b a b33m a b33m a b2m a b2m a b注：式子nb a （n是正整数）转化为na b 的符号变化规律是：n n当n为偶数时， b a a bn n当n为奇数时， b a a b例 3. 如a b1，ab108，就a2 b ab2 的值为解： 把多项式a 2 b ab2 转化成ab a b的形式a b 1， ab 108a2 b ab2ab a b108 1 108【模拟试题】1. 以下各式从左到右的变形，是分解因式的是（ ）2A. a 1 a 1 a 1x 2 4 x 5B.x x 4 5a 3 b 3C.a b a2ab b 23x 2 6xD.3 x 2 2 x2. 以下因式分解错误选项（ ）A.1 16a21 4a1 4 ax 3 x x x 2 1B.ab c2 2 2C.a bc a bc4 m2D. 90.01n 20.1n 2 m 32 m 0.1n323. 假如二次三项式 xkx 15 分解因式的结果是 x5 x 3 ，就 k ；x。