中国科学技术大学线性代数期末试题..pdf

中 国 科 学 技 术 大 学20092010 学年第 1 学期考试试卷考试科目 : 线性代数得分 : 学生所在系 : 姓名: 学号一、填空题（每题5 分，共 40 分）（1）1100210221. （2） 向量)8,2,4,2(),4,10,100, 9(),4 ,1,2, 1(321生成的4R 的子空间的维数等于3）设n阶方阵 A 满足02I-AA2，其中 I 是单位阵，则-1A. （4）设122212221A，则2010A的全体特征值为5）设111aaaaaaA是正定矩阵，则a的取值范围是6）每个元素的绝对值都相等的实二阶正交阵一共有个7）设矩阵11111bbaaA与200010000B相似，则a， b. （8） 设3R 是赋予通常内积的三维欧氏空间, ),(cba是长度为 1 的向量 , W 是由方程0czbyax给定的平面 . 设线性变换 A 把3R 中的向量映为它在平面 W 上的投影向量 , 那么 A 在标准正交基),0, 0, 1(1e),0, 1 ,0(2e) 1 ,0 ,0(3e之下的矩阵是_. - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页精品p d f 资料 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - -20092010 学年第 1 学期第1页（共 2 页）二、解答题（共 60 分）1（10 分）问为何值时，线性方程组1)5(4224)5(2122)2(321321321xxxxxxxxx. 有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。

2（10 分）设s,21是数域 F 上的n阶方阵 A的不同特征值，)()(1,imiiXX是 A的属于i的线性无关的特征向量，si,1证明：向量组)()(1)2()2(1)1()1(1,21smsmmsXXXXXX线性无关 - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页精品p d f 资料 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - -20092010 学年第 1 学期第2页（共 2 页）3（10 分）设m,1为欧氏空间 V 中的向量证明：m,1线性无关的充分必要条件是矩阵),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111mmmmmm为正定阵，其中),(是V 中的内积4（15 分）用正交变换化二次型323121232221321444),(xxxxxxxxxxxxQ为标准形，并指出曲面1),(321xxxQ的类型 - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页精品p d f 资料 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - -20092010 学年第 1 学期第3页（共 2 页）5. （15 分）设0tr|22XRXV。

1）证明 V 是实数域上的线性空间，并求V 的维数2）设线性变换TXXXVV2)(:AA，求 V 的一组基使 A在这组基下的矩阵为对角阵 - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 4 页精品p d f 资料 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - -。