最全面最全面解三角形知识点归纳总结.docx

一. 正弦定理：第一章 解三角形1. 正弦定理： 在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等， 并且都等于外接圆的直径，即asin Absin Bcsin C2R （其中 R是三角形外接圆的半径）2. 变形： 1）a b c a b c ．sin sin sin C sin sin sin C2） 化边为角：a : b : csinA: sinB : sin C ；a sin A ; bsin B ; asin A ;b sin B c3 ）化边为角： a 2 Rsin A,sin C c b 2 Rsin B,sin Cc 2 Rsin C4 ）化角为边：sin A a ;sin Bb sin A a; ;sin B bsin Cc sin C c5 ）化角为边：sin Aa , sin B 2Rb , sin C c2R 2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角 B,C,a ，o解法 ： 由 A+B+C=180， 求角 A, 由正 弦定 理 absin A ; sin Bb sin B;c sin Ca sinA ; 求出 b 与 cc sin C②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边；例：已知边 a,b,A,解法：由正弦定理 absinsinA 求出角 B, 由 A+B+C=18o0求出角 C，再使用正B弦定理 a sin A 求出 c 边c sin C4. △ABC中，已知锐角 A，边 b，则① a bsin A 时， B无解； b② a bsin A 或a b 时， B有一个解；b sin A③ bsin Aa b 时， B有两个解；A如：①已知 A60 , a2,b2 3 , 求 B ( 有一个解 )②已知 A60 , b2,a2 3 , 求 B ( 有两个解 )注意：由正弦定理求角时，注意解的个数；二. 三角形面积1. SABC1 ab sin C 21 bcsin A21 ac sin B 22. SABC1 (a2b c)r, 其中 r 是三角形内切圆半径 .3. SABCp( pa)( pb)( pc) , 其中 p1 (a2b c) ,4. SABCabc 4 R,R 为外接圆半径5. S ABC2 R 2 sinA sinB sin C,R 为外接圆半径三. 余弦定理1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍，即a 2 b 2c2 2bc cos Ab 2 a 2c2 2ac cos Bc 2 a 2 b 22 ab cos C2. 变形：cos Ab 2 c 2 a 22bccos Ba 2 c 2 b 22accos Ca 2 b 2 c22ab注意整体代入，如： a 2c2 b2 accosB 123. 利用余弦定理判断三角形形状：设a 、 b 、 c是 C 的角 、 、 C 的对边，则：①若， ，所以 为锐角②若 c2 b 2 a 2A为直角③若 ， 所以 为钝角，则 是钝角三角形4. 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 1）已知三边，求三个角 2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四、应用题1. 已知两角和一边（如 A、B、C），由 A+B+C = π求 C，由正弦定理求 a、b．2. 已知两边和夹角（如 a、b、c），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C= π，求另一角．3. 已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A），应用正弦定理求 B，由 A+B+C= π求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况．4. 已知三边 a、b、c，应用余弦定理求 A、B，再由 A+B+C= π，求角 C．5. 方向角一般是指以观测者的位置为中心， 将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角） ，通常表达成 . 正北或正南，北偏东度， 北偏西度，南偏东度，南偏西度 .6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中 , 视线在水平线上方的角叫仰角 , 视线在水平线下方的角叫俯角 .视线铅 仰角直线 水平线俯角视线五、三角形中常见的结论1） 三角形三角关系： A+B+C=1802） 三角形三边关系：； C=180— (A+B)；两边之和大于第三边： ， ， ；两边之差小于第三边： ， ， ；3） 在同一个三角形中大边对大角： A B4) 三角形内的诱导公式：a b sin Asin Bsin( A B) sin C,cos( A B) cos C,tan( A B) tan C,tan A B2tan( C)2 2sin( C ) 2 2CCcos( ) 2Ccos( )2 2sin( ) 25) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) sin( αβ) ＝sin αcos βcos αsin β.(2) cos(αβ)＝ cos αcos β?sin αsin β.(3) tan(αβ)＝ tan αtan ββ1?tan αtan .6) 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin 2 α＝2sin αcos α.(2) cos 2 α＝cos2α －sin 2α＝2cos2α－ 1＝1－2sin 2α.(3) (3)sin 21 cos 2 2; cos21 cos 2 22(4) tan 2 α＝ 2tan α .1－tan α7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点。