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第第8 8章章 组合变形组合变形 8.1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理 杆件有两种或两种以上基本变形的组合杆件有两种或两种以上基本变形的组合——组合变形组合变形 两种基本变形组合的类型：两种基本变形组合的类型： 拉（压）拉（压）+扭；拉（压）扭；拉（压）+弯；扭弯；扭+弯；平面弯弯；平面弯+平面弯平面弯 按基本变形按基本变形分解外力与内力分解外力与内力 计算计算基本变形的应力与应变基本变形的应力与应变分量分量 应用应用强度理论强度理论进行强度计算进行强度计算 确定组合变形的确定组合变形的危险截面与危险点危险截面与危险点的应力状态的应力状态 将各基本变形结果将各基本变形结果叠加叠加 ——叠加原理叠加原理 分析方法分析方法（线弹性、小变形假设）：（线弹性、小变形假设）： 要求内力、应力、应变和位移与外力成线性关系要求内力、应力、应变和位移与外力成线性关系 1. 两相互垂直平面的弯曲两相互垂直平面的弯曲 合弯矩合弯矩 22 = yz MMM （（2）平面弯曲的内力）平面弯曲的内力 弯矩：弯矩：My 、、Mz z y Mz My M  A(y,z) 先确定先确定主惯性轴方向主惯性轴方向，再分解外力，再分解外力——产生产生平面弯曲平面弯曲 （（1）外力的分解）外力的分解 z y x F2 F1 z y x F 12 , y z AA zy M z M y II   （（4）应力的叠加）应力的叠加 y z A yz M z M y II   在截面上线性分布在截面上线性分布 （（3）平面弯曲的应力）平面弯曲的应力 z y Mz My M  A(y,z) 12 ( ) ( ) y z AAA zy Mx z Mx y II   z y （5）最大正应力）最大正应力 距离中性轴最远点：距离中性轴最远点： D1— tmax，，D2— cmax 横截面外周边横截面外周边具有棱角具有棱角：： 最大正应力最大正应力在角点上。

在角点上 z y Mz My M   中性轴中性轴(y0 , z0) D1 D2 00 0 yz zy I M zkyk I M  （过形心（过形心o的直线）的直线） 00 ()()0yyk xx 点斜式直线方程：点斜式直线方程： 通过点通过点 ，斜率为，斜率为k 00 (,)xy 0 y z A yz M z M y II  确定中性轴确定中性轴 0 0 tantan yzy zyz I MI z yI MI  yz II当当 时，时，  =     中性轴与中性轴与y轴的夹角轴的夹角   合弯矩与合弯矩与y轴的夹角轴的夹角 （（6）斜弯曲）斜弯曲 注意：注意：  =  时时正应力正应力可用可用合弯矩合弯矩按平面弯曲公式计算，按平面弯曲公式计算， 但不一定是平面弯曲，但不一定是平面弯曲，挠度挠度仍需按仍需按叠加法叠加法计算 中性轴与合弯矩矢量方向不一致（挠度垂直中性轴）中性轴与合弯矩矢量方向不一致（挠度垂直中性轴） 挠曲线不在合弯矩作用面内挠曲线不在合弯矩作用面内——斜弯曲斜弯曲 挠度挠度 22 yz www 一条空间曲线一条空间曲线 F 圆形、正方形等截面，圆形、正方形等截面，  =   挠度一般仍为空间曲线挠度一般仍为空间曲线 z y Mz My M   中性轴中性轴 D1 D2 中性轴与合弯矩矢量方向一致，中性轴与合弯矩矢量方向一致， 一般情况一般情况  yz II 0 0 tantan yzy zyz I MI z yI MI  （7）强度条件）强度条件 危险截面危险截面：：等截面梁，等截面梁，Mymax与与Mzmax所在截面一致时，所在截面一致时， 可直接确定，否则由可直接确定，否则由 确定。

确定 d 0 dx   最大正应力点处于最大正应力点处于单向应力状态单向应力状态 max [ ] 一般弯曲切应力相对较小，通常略去，但对于如工一般弯曲切应力相对较小，通常略去，但对于如工 字形等薄壁截面情况需注意字形等薄壁截面情况需注意 y 悬臂梁悬臂梁自由端受集中力作用试分析下列横自由端受集中力作用试分析下列横 截面情况的弯曲变形截面情况的弯曲变形 例例8-1 a 圆 b 正方形 c 矩形 d 正三角形 e Z字形 f 工字形 解答：平面弯曲：解答：平面弯曲：a、、b、、d斜弯曲：斜弯曲：c、、e、、f yz II当当 时，时， 各横截面合各横截面合 弯矩矢量方弯矩矢量方 位不变 平面弯曲平面弯曲 解：解： (1) 主惯性轴主惯性轴——y、、z 分解分解F F： cos,sin yz FFFF My 与与Mz 最大值不在同一截面最大值不在同一截面 Mz x 2 1 8 qL 2 1 [()()] 2 z Mq LxL Lx  矩形截面悬臂梁，受集中力矩形截面悬臂梁，受集中力F＝＝qL与均布力与均布力q 试求最大正应力试求最大正应力(  = 60 )。

例例8-2 (2) 弯矩图：弯矩图： 3 () 2 y MqL Lx x My 3 2 FL 以横截面坐标轴正向区域拉伸为正以横截面坐标轴正向区域拉伸为正 d 0 dx   确定确定xm（危险截面的位置）（危险截面的位置） 3 (1) 2 m Lh x b  2 2 max 2 33 (1) 4 qLh bhb  (3) 平面弯曲：平面弯曲： Mz x 2 1 8 qL x My 3 2 FL , y z yx yz M z M y II  弯矩以横截面坐标轴正向区域拉伸为正弯矩以横截面坐标轴正向区域拉伸为正 (4) 斜弯曲：斜弯曲： 叠加法，最大正应力位于角叠加法，最大正应力位于角 点处点处(危险点危险点) 2 22 ( ) ( ) 3 ( 3()[()()]) y z yz Mx Mx WW q hL Lxb LxL Lx b h   危险点危险点 。