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优化模型与LINDO6.1优化软件徐 畅浙江工业大学机电学院1 LINDO 公司软件产品简要介绍美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年 前后开发, 后来成立 LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.）， 网址：LINDO: Linear INteractive and Discrete Optimizer (V6.1)LINGO: Linear INteractive General Optimizer (V8.0)LINDO API: LINDO Application Programming Interface (V2.0)What’s Best!: (SpreadSheet e.g. EXCEL) (V7.0)演示(试用)版、学生版、高级版、超级版、工业版、 扩展版… （求解问题规模和选件不同）LINDOLINDO软件能求解的优化模型软件能求解的优化模型优化模型优化模型线性规划线性规划 (LP)非线性规划非线性规划 (NLP)二次规划二次规划 (QP)连续优化连续优化整数规划整数规划(IP)About Lindo Lindo6.1主要 参数解决问题： 一般用一般用LINDOLINDO解决解决  线性规划线性规划（（LP——Linear ProgrammingLinear Programming））  整数规划整数规划（（IP——Integer ProgrammingInteger Programming）） 其中其中LINDO 6 .1 LINDO 6 .1 学生版至多可求解多达学生版至多可求解多达 300300个变量和个变量和150150个约束的规划问题。

个约束的规划问题最基本操作 安装 此软件最初应用是数学建模中的数模此软件最初应用是数学建模中的数模 解算，进一步开发为涉及经济、社会、解算，进一步开发为涉及经济、社会、 最优规划等各各方面因此可在数学建最优规划等各各方面因此可在数学建 模网站上下载可得模网站上下载可得进入界面 lindo6.1lindo6.1界面如下图界面如下图进入引例例:某地有南北两个灌区，均需维修、加固和添置某些设备，以充分发挥水利设施的效益，据初步估计南灌区每亩维修费用需10元/亩，北灌区需20元/亩，水里设施改善后，预计南关区每年平均效益可增加20元/亩，北灌区可增加30元/亩，现有水利投资800万元，该费用全部用于南灌区或北灌区均嫌不足，经当地水利部门研究，决定南灌区的改善面积不得大于30万亩，问该投资如何分配，年效益为最大？数学模型为: maxZ=20x1+30x2 s.t x1≤30 [南区面积约束] 10x1+20x2≤800[不能超过总投资] x1,x2≥0 [非负约束] 先介绍一般解法——图解法引例x1x2x1=3010x1+20x2=800(30,25)Z=20x1+30x2如右图所示可得：当阴影部分的值当函数取值（30,25)点时 Z=20x1+30x2取最值即： maxZ=20×30+30×25=135 0我们来了解一下用lindo软件来实现这一过程转入转入lindolindo引例使用使用LINDOLINDO的一些注意事项的一些注意事项1.“>”（（或或““=”（（或或““、=”4 Lindo模型的基本语法规则4.4数字数字的绝对值不能相差太大适当调整约束条件的单位eg:千克-吨4 Lindo模型的基本语法规则4.5标题标题是对模型的简要说明，必须放在模型文件的第一 行。

标题以关键字TITLE开头，可缺省的关键字4 Lindo模型的基本语法规则4.6 注释 ！-------4 Lindo模型的基本语法规则4.7 目标函数MAX或或MIN错误的目标函数表达式错误的目标函数表达式说明说明MAX Z=2X1+3X2-X3不能出现 “Z=”MIN 2X1+4X2+5X3+7不能单独出现常数MAX 2*X1+3*X2+5*X3非法运算符MIN 2(X1+X2)+3X3（）是非法运算符4 Lindo模型的基本语法规则4.8 约束条件S.T.或或ST 等式或不等式等式或不等式 左边是变量的线性表达式左边是变量的线性表达式 右边是一个常数右边是一个常数 可用可用FREE解除变量的非负约束解除变量的非负约束4 Lindo模型的基本语法规则4.9 定义整数变量MAX 3X1+4X2+5X3+3X4+2X5 ST 2X1+3X2+4X3+5X4+X5——0-1变量变量 INT——整数变量整数变量MAX 3X1+4X2+5X3+3X4+2X5 ST 2X1+3X2+4X3+5X4+X5 x5>=12 SLB X5 12 SLB 5 Lindo模型的编译和求解5.1 Lindo模型的编译用鼠标点击工具栏中的图标用鼠标点击工具栏中的图标，， 或从菜单中选择或从菜单中选择Solve|Solve(Ctrl+S)命令命令名称含义Status (当前状态)显示当前求解状态：“Optimal”表示最优解；其他 可能的显示还有三个：Feasible(可行解), Infeasible( 不可行), Unbounded(最优值无界)。

Iterations (迭代次数)显示迭代次数：“2”表示经过了2次迭代Infeasibility (不可行性)约束不满足的量(即各个约束条件不满足的“数量” 的和；特别注意不是“不满足的约束个数”)：“0” 表示这个解是可行的Objective (当前的目标值)显示目标函数当前的值：7.45455Best IP (整数规划当前的最 佳目标值)显示整数规划当前的最佳目标值：“N/A” (No Answer或Not Applicable)表示无答案或无意义，因为 这个模型中没有整数变量，不是整数规划(IP)名称含义IP Bound (整数规划的界)显示整数规划的界(对最大化问题显示上界；对最小化问 题，显示下界)：“N/A”含义同上Branches (分枝数)显示分枝定界算法已经计算的分枝数： “N/A”含义同上 Elapsed Time (所用时间)显示计算所用时间(秒)：“0.00”说明计算太快了，用时还 不到0.005秒Update Interval (刷新本界面时间间隔)显示和控制刷新本界面的时间间隔：“1”表示1秒；用户 可以直接在界面上修改这个时间间隔Interrupt Solver (中断求解程序)当模型规模比较大时(尤其对整数规划)，可能求解时间会 很长，如果不想再等待下去时，可以在程序运行过程中用 鼠标点击该按钮终止计算。

求解结束后这个按钮变成了灰 色，再点击就不起作用了Close(关闭)该按钮只是关闭状态窗口，并不终止计算如果你关闭了 状态窗口，将来随时可以选择WINDOW | OPEN STATUS WINDOW 菜单命令来再次打开这个窗口紧接着弹出一对话框紧接着弹出一对话框，，询问你是否需要做灵敏性分析询问你是否需要做灵敏性分析(DORANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? )先选择先选择“否否(N)”按按钮钮，，这个窗口就会关闭这个窗口就会关闭然后然后，，再把状态窗口也关闭再把状态窗口也关闭用鼠标选择用鼠标选择““Window|Reports Window”(报告窗口报告窗口)，，就就可以查看该窗口的内容可以查看该窗口的内容例1 加工奶制品的生产计划1桶 牛奶3公斤A112小时8小时4公斤A2或获利24元/公斤获利16元/公斤50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A1制订生产计划，使每天获利最大35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？每天：x1桶牛奶生产A1x2桶牛奶生产A2获利 24×3x1获利 16×4 x2原料供应5021 xx劳动时间48081221 xx 10031x决策变量目标函数216472xxzMax约束条件非负约束0,21xx线性规划模型(LP)加工能力例1 加工奶制品的生产计划模型求解max 72x1+64x2st2）x1+x2<503）12x1+8x2<4804）3x1<100endOBJECTIVE FUNCTION VALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCED COSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO. ITERATIONS=2DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。

OBJECTIVEFUNCTION VALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCED COSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000原料无剩余 时间无剩余 加工能力剩余40max 72x1+64x2st2）x1+x2<503）12x1+8x2<4804）3x1<100end三 种 资 源 “资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）reduced cost的值给出最优单纯形表中目标函数行中 变量对应的检验数基变量的reduced cost值一定为 0，非基变量的reduced cost值表示当该非基变量增 加一个单位时(其他非基变量保持不变)目标函数减 少的量(对max型问题型问题)结果解释OBJECTIVEFUNCTION VALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCED COSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000最优解下“资源”增 加1单位时“效益”的 增量原料增1单位, 利润增48 时间加1单位, 利润增2 能力增减不影响利润影子价格35元可买到1桶牛奶，要买吗？35 <48, 应该买！聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？2元！结果解释最优解下“资源”增加1单位时“效 益”的增量，即该种资源的影子价格。

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHAND SIDE RANGES ROWCURRENTALLOWABLE ALLOWABLE RHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000最优解不变时目标 系数允许变化范围 (约束条件不变)DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?Yesx1系数范围(64,96)x2系数范围(48,72) A1获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划x。