高等数学形成性考核册答案1.pdf

高等数学（B）（1）第一次作业初等数学知识一、名词解释邻域：设a和是两个实数，且0，满足不等式xa的实数x的全体称为a的邻域绝对值；数轴上的点a到原点的距离称为a的绝对值，记为a数轴：规定了原点、正方向和长度的直线称为数轴实数：实数由有理数和无理数组成有理数包括整数和分数二、填空题1、绝 对 值 的 性 质 有（0a）、（aba b）、（aabb）、（aaa）、（abab）、（a bab）2、开区间的表示有（,a b）、（axb）（提示：分别用区间和数轴形式表示）3、闭区间的表示有（,a b）、（axb）4、无穷大的记号（）5（-，+）表示（全体实数），或记为（R）6、（-，b）表示（满足不等式xb的一切实数x），或记为（xb）7、（a，+）表示（满足不等式xa的一切实数x），或记为（ax）8、去心邻域是指（满足不等式xa且xa）的全体，用数轴表示即为（P7下图）9、满足不等式112x的数 x 用区间可表示为（11,2）三、回答题1、初等数学为高等数学做了哪些准备？答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算转变符号是一种更为简洁的语言，没有国界，全世界共享，并且这种语言具有运算能力。

2）培养严密的逻辑思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变3）培养抽象思维的能力，实现从具体数学到概念化数学的转变4）发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变2、有理数包括哪些数？答：有理数包括整数和分数3、数轴上二个有理数之间都是有理数吗？答：二个有理数之间有有理数，也有无理数4、不等式51x等价于哪个区间？答：等价于1,5名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 25 页 -a)点1x的21邻域如何表示？答：1 3,2 25、计算题a)解不等式0232xx解：0232xx，120 xx，2x或1x；所以不等式的解为,12,b)解不等式0562xx解：2650 xx，150 xx，5x或1x；所以不等式的解为,15,c)解方程0|103|2xx解：23100 xx，520 xx，5x或2x函数一、名词解释函数答：设x和y是两个变量，若当变量x在其变动区域D 内取任一数值时，变量y依照某一法则f总有一个确定的数值与x值对应，则称变量y为变量x的函数，记作()yf x奇函数答：设函数yfx在关于原点对称的集合D 上有定义，如果对任意的xD，恒有()()fxf x，则称函数fx为奇函数。

偶函数答：设函数yfx在关于原点对称的集合D 上有定义，如果对任意的xD，恒有()()fxf x，则称函数fx为偶函数定义域答：在函数的定义中，自变量x的变动区域，称为函数的定义域值域答：在函数的定义中，y的取值的集合称为函数的值域名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 25 页 -初等函数答：由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而得到的函数称为初等函数三角函数答：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数合称三角函数指数函数：答：函数xya(0,1)aa，称为指数函数复合函数答：设y是u的函数()yf u，u是x的函数()ux，如果()ux的值哉包含在()yf u的定义域中，则y通过u构成x的函数，记作yfx，这种函数称为复合函数，其中u称为中间变量对数函数答：函数logayx(0,1)aa，称为对数函数反函数答：设设y是x的函数()yfx，其值域为G，如果对于G 中的第一个y值，都有有一个确定的且满足()yf x的x值与它对应，则得到一个定义在G 上的以y为自变量，x为因变量的新函数，称它为()yfx的反函数，记作1()xfy，并称()yf x为直接函数。

幂函数答：函数yx（为实数）称为幂函数常数函数答：函数yc（c为实数）称为常数函数，它的定义域是.常量答：一类量在考察的过程中不发生变化，只取一个固定的值，我们称它为常量变量答：一类量在考察的过程中是变化的，可以取不同的数值，我们称它为变量二、填空题1、函数概念最早是由（莱布尼兹）引进的，有了函数概念，人们就可以从（数量）上确切地描述运动2、在历史上第一个给出函数一般定义的是（狄里克雷），并给出了一个不能画出图形的函数，这就是著名的（狄里克雷函数），它的表示式是（0,1,xfxx是无理数是有理数）3、函数的三种表示方法：（解析表达式），（图形式），（表格式）4、函数表达了（因变量）与（自变量）之间的一种对应规则5、单值函数是当（自变量）在（定义域）中取定了一数值时，与之对应的（函数值）是唯一的函数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 25 页 -6、奇函数的图像特点是（图像关于原点对称）7、单调函数的图像特点是（沿x轴正向逐渐上升或沿x轴正向逐渐下降）8、反函数的图像特点是（与原函数的图像关于直线yx对称）三、回答题1、什么是有界函数？答：设函数()yf x在集合 D 上有定义，如果存在一个正数M，对于所有的xD，恒有|()|f xM，则称函数()f x在 D 上为有界函数。

2、对于有界函数要注意哪几点？答：对于函数的有界性，要注意以下几点：（1）当一个函数()yf x在区间(,)a b内有界时，正数M 的取法不是唯一的2）有界性是依赖于区间的3、什么是单调函数？答：设函数()yf x在区间(,)a b内有定义，如果对于(,)a b内的任意两点1x和2x，当1x2x时，恒有12()()f xf x，则称函数()f x在区间(,)a b内单调增加；如果对于(,)a b内的任意两点1x和2x，当1x130 x dx.（2）231x dx和221x dx解：因为在(1,2)上，32xx，则231x dx221x dx3）21ln xdx和221ln xdx解：因为在(1,2)上，2lnlnxx，所以21ln xdx221ln xdx.2、求函数2233yxx在区间1,4上的平均值解：423241111232333|41332Sxxdxxxx=441183、设0sinxytdt，求4|xdydx解：442|sin|2xxdyxdx4、设2011xydxA，求dydx解：11dydxA5、计算下列定积分1）331x dx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 25 页 -解：原式=4311|204x（2）41xdx解：原式=41214|33xx。

3）2sin xdx解：原式=2cos|2x4）01xe dx解：原式=01|1xee5）213xdxx解：原式=22113(1)3ln(3)213ln 23ln 213dxxxx6）421149dtt解：原式=44111111 11()ln|23|ln|23|623236 22dttttt=1ln11ln 5ln11ln 512126、求抛物线24yax，直线4x及x轴所围图形绕x轴旋转体积解：4240042|32Vaxdxaxa7、求直线12xy及两条坐标轴所围成的三角形绕x轴旋转而成的旋转体积解：直线与两标轴交点为（2，0）（0，1），222232200021(1)242123xxxxVdxxdxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 25 页 -8、计算2()23,f xxy xx所围图形的面积解：两曲线交点坐标满足223,yxyx即(-1,1)和(3,9),则3223311153223(3)|9333Sxxdxxxx9、计算(),2,4,0 xf xexxy所围图形的面积解：444222|xxSe dxeee作业 4 微积分简史1、论述微分学的早期史答：在微分学这个邻域内，费马给出了一个统一的无穷小方法，用以解决求最大最小值问题。

牛顿和莱布尼茨各自创立一套一般的符号体系，建立计算的正规程序或算法柯西等19 世纪数学家为这门学科重建逻辑上的一致的、严格的基础2、简述费马对微分学的贡献答：属于微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作是1629 年费马给出的曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题都是微分学的基本问题正是这两个问题的研究促进了微分学的诞生，费马在这两个问题都作出了重要贡献，他处理这两个问题的方法是一致的用现代语言来说，都是先取增量，而后让增量趋向于0，而这正是微他学的实质所在在费马求面积的过程中，我们看到了定积分的概念与运算的大部分的主要方面可以肯定地说，除了巴罗以外，没有任何数学家像费马这样接近于微积分的发明了3、简述巴罗对微分学的贡献答：巴罗最重要的著作是他的光学和几何学讲义在这本书中我们能够找到非常接近近代微分过程的步骤巴罗求切线的方法非常接近于微分学中所采用的方法特别有趣重要的是巴罗把作曲线的切线与曲线的求积联系了起来这就是说他把微分学和积分学的两个基本问题以几何对比形式联系起来了巴罗的确走到了微积分基本定理的大门口了4、论述积分学的早期史答：积分学起源于各种求积问题，如面积、体积和弧长的计算这些问题的研究在西方要追溯到遥远的古希腊。

安提丰提出，随着一个圆的内接正多边形的边数逐次成倍增加，圆与多边形的差将被穷竭阿基米德对穷竭法做出发最巧妙的应用得到了球的体积和圆柱体的体积我国古代的刘徽的割圆术和祖恒提出的“幂势既同，则积不容异”原理，对微积分作出了重大贡献5、论述微积分对人类历史的贡献答：微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点，这个伟大的发明明显不同于旧数学旧数学是关于常量的、静止的，而新数学是关于变量的、运动的关于微积名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 25 页 -分的地位，恩格斯是这样评价的：“一切理论成就中，末必再有什么像17 世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了”牛顿和莱布尼茨集其大成，迸发出新方法和新观点，使数学达到了一个更高的水平6、牛顿和莱布厄兹对微积分的发现做出了什么的贡献？答：牛顿在曲线求积论和流数术和无穷级数方法及其对几何曲线的应用的论文中，建立和完成了无穷小量的经典分析，也就是建立和完成了微积分学牛顿先后考虑了微分、解微分方程、函数的极值、曲线的切线等等莱布尼茨在研究巴罗的著作后，意识到微分和积分的互逆关系，在其的 一种求极大值和极小值和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算，是历史上最早公开发表的关于微分学的文献。

文中给出微分的定义、微分法则、二阶微分、极值、切线、曲率等等有关计算他所给出的微分学符号和计算导数的许多一般法则一直沿用到现在微分方程一、回答题1、微分方程的定义答：含有末知函数的导数的等式叫做微分方程2、何谓微分方程的通解、特解，何谓微分方程的初始条件？答：含有任意常数C的解叫做微分方程的通解确定了常数C的解称为方程的特解使任意常数确定为确定的数的条件称为初始条件3、何谓变量可分离的微分方程？答：把可以通过分离变量法的微分方程称为可分离的微分方程4、微分方程和建模有何关系？答：数学建模中的数学模型常常是一个微分方程，进而求解数学问题是求解微分方程的问题5、建模思想和步骤是什么/答：建立数学模型，并用以解决实际问题的步骤分为以下五步：（1）明确实际问题熟悉问题的背景；（2）形成数学模型；（3）求解数学问题；（4）研究算法并尽量使用计算机；（5）回到实际中去，解释结果二、计算题1 求下列微分方程的解（1）123,|3xdyxydx解：(23)dyxdx，(23)dyxdx，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 25 页 -23yxxc，用1,3xy代入有：913,5c c，所以解为235yxx。

2）14,|0 xdyxydx解：4dyxdx，4dyxdx，83yxxc，用1,0 xy代入有：880,33c c，所以解为8833yxx3）306,|4xxdyeydx解；36,xdye dx36,xdye dx3。