《空间点、直线、平面之间的位置关系-空间位置关系错中“悟”》文字素材2（人教A版必修2）.doc

空间位置关系错中“悟”我们这里所说的空间中位置关系主要包括线线、线面及面面关系,它们是学习立体几何的基础,由于该部分内容比较多,初学者的空间观念还没有建立起来,所以经常出现解题失误.特举例如下:例1. 求证：四个角都是直角的四边形是矩形. 错解：∵四边形的四个角都是直角， ∴ 其内角和为360°. ∴此四边形为平面四边形，从而得到该四边形为矩形.错解剖析: 在上述的证明过程中，我们看到由“内角和为360°”就直接推出“四边形为平面四边形”进而推出最终结论，这样的理由是不充分的，所以亮起了红灯. 正解： 我们看到题目给出的条件很简单，只有一个“四个角都是直角的四边形”，那么我们要想，这个四边形是平面的还是空间的？如果是平面四边形，很容易得到它是矩形，但如果是空间四边形，是否结论还成立呢？下面我们通过反证法来证明. （反证法）假设四边形ABCD是空间四边形，且四个内角都是直角，如图，过D作DE∥AB，则AD⊥DE，AD⊥DC，BC⊥DC，BC⊥DE.设两条相交直线DE、DC确定的平面为α，则AD⊥α，BC⊥α.∴ 根据“如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.”有AD∥BC，∴ AD、BC共面，这与假设ABCD是空间四边形相矛盾. ∴ 四边形ABCD是平面四边形. 从而得到该四边形为矩形. 　　　　　　　　　　 例2. 已知aα，a⊥b，b⊥α，求证：a∥α. 错解：因为 b⊥α，a⊥b，所以 aα或a∥α. 又aα，所以a∥α. 错解剖析:上面解题过程被亮起红灯的原因是对位置关系的判定理解不正确.在平面里，我们有这样的结论：“垂直于同一直线的两条直线平行”.但是在空间中，这个结论是不成立的，所以不能没有根据的随意类推.　　　　　　　　　　　正解： 如图所示，在a上任取一点A， 过点A作直线b′∥b，设b′∩α＝B，过两条 相交直线a、b′可作平面β∩α＝a′,因为 b⊥α，所以b′⊥α，b′⊥a′.又b⊥a，b′∥b， 所以b′⊥a.又a、a′同在β内，所以a∥a′，又aα，a′α，所以a∥α.例3.三个互不重合的平面把空间分成六个部分时，它们的交线有（ ）.　　 A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 1条或2条　　错解：选A.如图1： 错解: 上述解答只考虑到三个平面相交，且三条交线重合的情况，而忘记考虑三个平面相交，但交线不重合的情况.　 正解： 当三个平面相交，且三条交线重合时，如图1，三个平面只有一条交线；当三个平面相交，但交线不重合时，如图2，其中有两个平面平行，第三个平面与它们相交，此时也可将空间分成6部分，而它们的交线有2条. 故综合以上两种情况，正确选项为D. 例4.若直线a、b异面，直线b、c异面，则a、c的位置关系是（ ）.　　A． 异面 B． 相交 　　C． 平行 D． 以上都有可能　 错解： 选A.　 错解剖析: 想到a∥b，b∥c?圯a∥c，于是对于异面直线也作类似推断，认为与同一条直线异面的两条直线也异面.这种解答只凭感觉就作出选择，毫无理论根据. 正解： 如图1，a与b异面，b与c异面，a与c也异面；如图2，同样在满足条件的情况下，a与c相交；如图3，a与c平行. 所以，异面、相交、平行都有可能出现.故选D.　 例5. 线段AB、CD分别在两条异面直线上，M、N分别是线段AB、CD的中点，则（ ）.　 　 错解： 想到梯形的中位线定理，故选C.　 错解剖析: 由于四边形ABDC是空间四边形，不满足梯形的中位线定理，从而出错. 正解： 如下图所示，四边形ABDC 是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN与AB、CD的关系，必须将它们转化到平面来考虑.我们可以连结AD，取AD的中点为G，再连结MG、NG，如图：在△ABD中，M、G分别是线段AB、AD的中点，则MG∥BD，且,同理，在△ADC中，NG∥AC，且,又根据三角形的三边关系知， MN