初三数学三点的轨迹知识精讲 浙江版 试题.doc

初三数学三点的轨迹知识精讲一. 本周教学内容： 三点的轨迹［教学目标］ 1. 了解点的轨迹的定义 2. 掌握五种基本轨迹（即轨迹定理1、2、3、4、5） 3. 学会利用定理1、2、3、4、5求简单轨迹 4. 初步学会交轨法作图二. 重点、难点： 1. 重点：有关轨迹的5个定理及轨迹在研究点的运动和作图方面的应用 2. 难点： （1）如何利用轨迹作图，轨迹的探求方法 （2）如何把运动问题，作图问题归结为点的轨迹问题来解决 例1. 求下列点的轨迹 （1）当的斜边AB固定时，求直角顶点C的轨迹 （2）已知⊙O及弦AB，求与AB平行的弦的中点的轨迹 解：（1）如图，设O为AB的中点，连结CO，则因为AB固定，所以O为定点，CO为定长由定理“到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆”，得所求轨迹是以AB为直径的圆 由于圆上A，B两点不能作为以AB为斜边的直角三角形的直角顶点，故应除去 （2）如图，动点是与AB平行的弦的中点，不变量是⊙O的弦AB，根据垂径定理，弦中点到A、B的距离相等，由定理2，所求中点的轨迹是与弦AB垂直的直径（除去两端点及AB的中点） 精析：求适合某个条件的点的轨迹的基本思路是把题设中的条件转化为课本中某一个轨迹定理的条件，从而根据轨迹定理的结论得出所求轨迹。

在求出轨迹后，要检查所得的图形中是否包含了某些不合题意的点，如果有，则应当将它们除去 例2. 求下列点的轨迹，并画出图 （1）在半径为5cm的圆中，长为6cm的动弦的中点的轨迹 （2）与相交于A、B两点的等圆都外切的动圆圆心的轨迹 解：（1）如图，连结OC、OA，其中C为弦AB的中点，根据垂径定理得：OC⊥AB 所以，所以 所以以长为6cm的已知线段为弦，且在半径为5cm的圆中运动所得的弦的中点的轨迹是以点O为圆心、半径为4cm的一个圆 （2）设P是所求轨迹上的任意一点，连结，则 又因为，所以AB垂直平分 而线段AB上的任意一点都不可能是和⊙O1，⊙O2都外切的动圆圆心 所以所求轨迹是的中垂线AB，并除去线段AB，如图所示 精析：在分析求点的轨迹的思路时，可以设出一种有代表性的情况，并画出图形（如本例第（1）小题中，设AB是半径为5cm的⊙O中的一条长为6cm的弦，C是AB的中点，然后分析当AB运动时，中点C如何变化这样便于借助图形，找出能反映动点运动特征的位置关系和数量关系，并使之转化为某个轨迹定理中的条件在检验求出的轨迹时，有时要剔除的不只是某几个点，而可能是一条线段，或一段圆弧等。

如本例中第（2）小题 例3. 求以4cm长的已知线段AB为一边，且面积为的三角形的第三个顶点C的轨迹 解：因为AB的长为4cm，三角形面积为，则三角形AB边上的高线长 所以三角形的第三个顶点C到对边AB所在直线的距离为6cm 因此所求轨迹是与线段AB所在直线平行，且到这条直线的距离等于6cm的两条平行直线（如图所示） 精析：求点的轨迹的一般步骤： （1）描出一些适合的点（画出草图）； （2）研究并总结这些点具有的共同特点与已知条件的关系，从而根据五个轨迹定理中的一个确定所求的轨迹是什么图形； （3）根据题意考虑是否有需要排除的特殊点（或线段、圆弧），然后用文字叙述完整 例4. 如图所示，已知∠EOF，点A和点B，求作一点P，使点P同时满足： （1）到∠EOF的两边距离相等； （2）到点A、B的距离相等 解：点P到∠EOF两边的距离相等，则点P在∠EOF的平分线上，故作∠EOF的平分线 点P到A、B两点的距离相等，则点P段AB的中垂线上，故作线段AB的中垂线 两线的交点为P，则点P即为所求 精析：当所求作的点同时满足两个（或多个）条件时，应单一地考虑每一个条件，确定所求作点各是什么轨迹上的点，并作出每一个轨迹，则这两个（或多个）轨迹的交点就是所求作的点，这种作图方法称为交轨法作图。

例5. 已知⊙O和定长r，点A是圆内的一点，求作一个半径为r的圆，使它经过点A，并且与⊙O内切 解：以O为圆心，以⊙O的半径减去定长r的差为半径画圆 以点A为圆心，以定长r为半径画圆，两圆相交于点 则以或为圆心，定长r为半径画圆，所得⊙或⊙就是所求作的圆如图所示） 精析：本例用交轨法作图，由于所求作圆的半径为已知线段r，故作图的关键是找圆心，由已知条件，就是到定点O的距离为定长（⊙O的半径与r之差）的点的轨迹和到定点A的距离为定长r的点的轨迹的交点 1. 到定点P的距离等于6cm的点的轨迹是_____________ 2. 以线段AB为底边的等腰三角形ABC的顶点C的轨迹是_____________ 3. 已知⊙O与半径是4cm的⊙O外切，且⊙O的半径为2cm，则点O的轨迹是__________ 4. 已知动点P到直线的距离为5cm，则点P的轨迹是____________ 5. 半径等于2cm，与直线相切的圆的圆心的轨迹是______________ 6. 如图所示，中，∠C＝Rt∠，BC边在上，点A在上，已知进行平行移动，那么AB边的中点Q的轨迹是____________。

7. 与正方形ABCD的AB、AD两边（不延长）都相切的圆的圆心的轨迹是________ 8. 到半径为r的定圆O的切线长等于定长a的点的轨迹是___________ 9. 一动点P绕定点O，且到定点O的距离为4cm旋转半周，那么点P运动所经过的路程是_________cm 10. 如图所示，半径为3cm的弹子沿着半径为8 cm的圆形钢圈内壁滚动3周，那么弹子圆心P随之运动所经过的路程是________ cm二. 选择题 11. 到已知角两边所在直线的距离相等的点的轨迹是（ ） A. 这个角的平分线 B. 这个角的平分线所在直线 C. 这个角和它的邻补角的平分线所在的直线 D. 这个角和它的邻补角的平分线 12. 已知线段AB，切AB中点E的动圆圆心的轨迹是（ ） A. 线段AB的中垂线 B. AB的垂线（除去E点） C. 线段AB的垂线 D. 线段AB的中垂线（除去E点） 13. 已知两条平行线之间的距离为6 cm，和这两条平行线都相切的动圆圆心的轨迹是（ ） A. 和这两条直线平行，且距离等于6cm的一条直线 B. 和这两条直线平行，且距离等于3cm的两条直线 C. 和这两条直线平行，且距离都等于3cm的一条直线 D. 和这两条直线平行，且距离等于3cm的三条直线 14. 点P（x，y）在直角坐标系内运动，且满足，则点P的轨迹是（ ） A. 平分第I象限角的一条射线 B. 平分第II象限角的一条射线 C. 平分第III象限角的一条射线 D. 平分第I、第III象限角的一条直线 15. 已知抛物线的对称轴是到A（-3，0）和B（5，0）的距离相等的点的轨迹，则b的值是（ ） A. -4 B. 4 C. -2 D. 2三. 解答题。

16. 如图所示，已知⊙O和⊙O上一点A，求以点A为一端点的弦的中点的轨迹，并画出图形 17. 如图所示，已知∠EAF，B是AE上一点，求作一个，使AB边上高线为2 cm，点C到AE，AF的距离相等 18. 如图所示，一根小木棒两端A、B紧靠钢圈上，现小木棒A、B两端紧靠钢圈按逆时针方向滑动到AB位置上，使得A与B重合，B与A重合，且AB//AB，已知小木棒长为8cm，钢圈半径为5cm，求木棒中点P随之运动所经过的路程[参考答案]一. 填空题 1. 以点P为圆心，6cm为半径的圆 2. 线段AB的中垂线（除AB中点外） 3. 以O为圆心，半径为6 cm的圆 4. 与直线平行，且到的距离等于5 cm的两条直线 5. 与直线平行，且到的距离等于2 cm的两条直线 6. 与平行，且到的距离都等于2的一条直线 7. 对角线AC（不包括A点） 8. 以O为圆心，为半径的圆 9. 10. 二. 选择题 11. C 12. D 13. C 14. D 15. A三. 解答题 16. 所求轨迹是以AO为直径的圆（A点除外） 17. 作∠EAF的平行线，再在∠EAF内部作与AE平行，且到AE的距离2 cm的一条平行线，交点就是所求的点C。

18. 点P的轨迹是以O为圆心，3 cm为半径的半圆 ∴经过的路程为。