高一数学专题复习三指数函数和对数函数.docx

一．基础学问复习（一）指数的运算：1．实数指数幂的定义：高一数学（必修 1 ）专题复习三指数函数和对数函数（ 1）正整数指数幂：（ 3）负整数指数幂：a n aa nan个a1 （ aa （ a0 ）R ）（ 2）零指数幂： a 01 （ a 0 ）anm（ 4）正分数指数幂：a n n a m （ am0,m, nN , n 1）（ 5）负分数指数幂： a n2．指数的运算性质：1 （ an a ma x0,m, nN , n 1 ．① a x a ya x y② a x ya y③ 〔a x 〕 ya xy④ 〔ab〕 xa x b x（二）对数的运算：b1 ．定义：假如 aN 〔a0且ab1〕 ，那么数 b 就叫做以 a 为底 N 的对数，记作b log aN （ a 是底数， N 是真数， log a N 是对数式）．即： a Nlog a N b ．a（ 1）由于 N ab 0 ，故 log N 中 N 必需大于 0（ 2）当 N 为零和负数时对数不存在（ 3） 1 的对数是零，log a 1 0（ 4）底数的对数等于 1， log a a2．对数恒等式： （ 1） a log a N N3．对数的运算法就：1b（ 2） log a ab （ 3） m log a nMn log a m① log a MNlog a Mlog a N② log anNlog a Mlog a Nn③ log a Nn log a Nalog a N④ log a N1 log N n4．对数换底公式：log b N1log a b．由换底公式推出一些常用的结论：（ 1） log a blog b a或 log ab log b a 1（ 2） log a blog b clog a c1am（ 3） log n bm nlog a b （4） log a n bnlog am b （ 5） log a n a nm（一）指数函数的图象和性质1． y ax 〔 a2． y ax 〔 a0 且 a0 且 a1〕的定义域为 R ，值域为 0, ．1〕 的单调性：当 a 1 时，y a x 在 R 上为增函数；当 0 a1时，y a x 在 R 上是减函数．3． y ax 〔 a0 且 a1〕的图像特点：当 a 1 时，图象像一撇，过点 0,1 ，且在 y 轴左侧 a 越大，图象越靠近 y 轴；当 0 a1时，图象像一捺，过点 0,1 ，且在 y 轴左侧 a 越小，图象越靠近 y 轴．4． y ax 与 y a x 的图象关于 y 轴对称．（二）对数函数的图象和性质1． ylog ax〔a0且a1〕 的定义域为 R ，值域为 R ．2． ylog ax〔a0且a1〕 的单调性：当 a 1 时，在 0,单增，当 0 a1时，在 0,单减．3． ylog ax〔a0且a1〕 的图象特点：当 a 1 时，图象像一撇，过 1,0 点，在 x 轴上方 a 越大越靠近 x 轴；当 0 a 1时，图象像一捺，过 1,0 点，在 x 轴上方 a 越小越靠近 x 轴．4． log a b 的符号规律（同正异负法就） ：给定两个区间 0,1 和 1, ，如 a 与 b 的范畴处于同一个区间，就对数值大于零；否就如 a 与 b 的范畴分处两个区间，就对数值小于零．5． ylog ax 与 ylog 1ax 的图像关于 x 轴对称．6．指数函数y a x 与对数函数 ylogax 互为反函数．（ 1）互为反函数的图像关于直线y x 对称 （ 2）互为反函数的定义域和值域相反（ 3）一般地，函数 yf 〔 x〕 的反函数用 yf 1 〔x〕 表示，如点〔 a,b 〕 在 yf 〔 x〕的图像上，就点〔b, a 〕 在 yf 1 〔 x〕的图像上，即如f 〔 a〕b ，就 f1 〔b〕 a ．（ 4）求反函数的步骤： ①反解， 用 y 表示 x ； ②求原函数的值域； ③ x 与 y 互换，并标明定义域．二．训练题目（一）挑选题1．设 a0 ，就a 3 a 2a （ ）2A ． 12 a11B． 12 a7C． 6 a5D． 6 a72．已知 log a x4A ．72 ， log b xB．1 ， log c x 274 ，就 logabc x （ ）7 7C． D．2 43．如log9 xlog 4 3〔log 3 4log 43〕2〔 log4 3log3 4log 3 4〕 ，就 x （ ）log 4 3A ． 4 B． 16 C． 256 D． 814．如图为指数函数(1) ya x , 〔2〕 yb x , 〔3〕 yc x , 〔4〕 yd x ，就 a,b, c, d 与 1的大小关系为（ ）A ． a b 1 c dC． 1 a b c dB ． bD ． aa 1 d cb 1 d c5．已知 0a 1， log a mlog a n0 ，就（ ）A ． 1 n m B ． 1 m n C． m n 1b cD． n m 16．设a, b, c 均为正数，且 2 a1log 1 a ，2 21log 1 b ，2 2log 2c .就（ ）A ． a b cB ． c b aC． c a bD． b a c7 ．设函数f 〔x〕 log a 〔 x b〕〔a0, a1〕 的图像过点 〔2,1〕 ，其反函数的图像过点〔2,8〕 ，就 a b 等于（ ）A ．3 B ．4 C． 5 D． 68．已知函数y ex 的图象与函数 y f x 的图象关于直线 y x 对称，就（ ）A ． f2x e2 x 〔 x R〕B． f 〔 2 x〕ln 2ln x〔 x 0〕C． f 2x2ex 〔x R〕D ． f 2xln xln 2〔x 0〕9．已知函数f 〔 x〕 2 x 3 ， f1 〔x〕 是f 〔x〕的反函数，如mn 16 （ m， nR + ），就f 1〔 m〕f 1〔 n〕的值为（ ）A ． 2 B． 1 C．4 D ． 1010 ．如函数y f 〔 x1〕 的图像与函数y lnx 1 的图像关于直线 y x 对称，就f 〔x〕 （ ）2 x 1 2 x2 x 12 x 2A ． e B． e C． e D ． e（二）填空题1．函数f 〔x〕2a 2 x 13 （ a0,a1 ）的图象恒过定点 ．2．函数 f 〔x〕2 log a 〔2xx2e , x 0.3x 2〕 （ a 0, a11 ）的图象恒过定点 ．3．设 g〔x〕lnx , x就 g〔 g 〔 〕〕 ．0. 234．已知log a xm, log a yn ，就log aa 3 x ．44 y5．已知log 3 10a ， log 6 25b ，就用 a 、 b 表示log 4 45 ．（三）解答题1．比较以下各组数的大小1 2 1 1 1（ 1） 〔 2 〕 3 ， 〔 1 〕 30. 3 2（ 2） log 2 0.3 ， 2 ， 0.3（4）2 2 ， 3 3 ， 6 63 32．运算：（1） lg 3 2lg 3 5 3 lg 2 lg 5（ 2）2 lg 21lg 3、11 lg 0.362lg 833．化简： （ 1）x 3 x 2 4 x 332 14 3 3 2x （ 2） x 11x 1 x x 31 1x x xx 3 x 3 1x 3 1 x 3 14．求以下函数的值域（ 1） y2 x 13 1 x（ 2） y2log 1 〔 x22x 3〕（ 3） ye x e xe x e x5．判定以下函数的奇偶性（ 1）f 〔 x〕〔 1 〕 3x 123x 1（ 2）f 〔 x〕 lg〔 1x2 x〕（3）f 〔 x〕1 12 x 1 26．对于函数f 〔 x〕log 1 〔x222ax3〕 ，解答下述问题：（ 1）如函数的定义域为 R ，求实数 a 的取值范畴；（ 2）如函数的值域为 R ，求实数 a 的取值范畴；（ 3）如函数在 [ 1, 〕 内有意义，求实数 a 的取值范畴；（ 4）如函数的值域为 〔 , 1] ，求实数 a 的值．7．（ 1）已知 9 x10 3x9 0 ，求函数 y〔 1 〕 x 141 x4〔 〕22 的最大值和最小值．（ 2 ） 设 不 等 式2〔log 0.5x〕 29〔log 0.5 x〕 90 的 解 集 为 M ， 求 当 xM 时 函 数y 〔log 2x 〕〔log 2x2〕 的最大和最小值．848．已知f 〔x〕log a 〔 a1〕 （ a0, a 1 ）x（ 1）求f 〔 x〕 的定义域； （ 2）争论f 〔 x〕 的单调性； （ 3）解方程f 。