二次函数的图像与性质讲解与练习.docx

学习必备 欢迎下载二次函数的图像与性质一 、 基 础 知 识 1、二次函数的三种形式 : 一般式 : y2ax bxc〔a,b, c为常数，且 a 0〕顶点式 : ya〔 xh〕 2k〔a0〕 ; 交点式 : ya〔 xx1〕〔 xx2 〕〔 a0〕 .2、一般地 , 抛物线 ya〔 xh〕2k 与 yax2 的外形相同 , 位置不同 . 把抛物线 yax 2向上 〔 下〕 向左 〔 右〕平移 , 可得到抛物线 ya〔 xh) 2k . 平移的方向、距离要依据 h , k 的值来打算 .抛物线 ya〔 xh) 2k 有如下特点 :(1) 当 a0 时, 开口向上 , 函数 有最小值 k ; 当 a 0时 , 开口向下 , 函数 有最大值 k ;(2) 对称轴是 x h ;(3) 顶点是〔 h, k〕 .3、二次函数 yax 2bx c〔a, b, c为常数，且 a0〕 的图像是 抛物线 .○ 1 顶点是： 〔b , 4ac a 4ab 〕 ，对称轴是： x b .22 a○ 2 开口方向： a0 时， 开口向上 ； a0 时， 开口向下 .○ 3 增减性：当 a0 ，在 xb 时， y 随 x 的增大而 减小 ，在 x 2ab 时, y 随 x 的增大而 增大 ；2a当 a 0 时，在 xb 时， y 随 x 的增大而 增大 ，在 x 2abb 2a4ac时, y 随 x 的增大而 减小 .b 2○ 4 最值 : 当 a 0 时，函数有 最小值 , 且当 x时， y 有最小值是 ；2 a 4ab 4ac b2a 0 时，函数有 最大值 , 且当 x时， y 有最大值是 .2 a 4a○ 5 开口大小 : a 越大抛物线的开口 越小 , 反之 越大 .4、我们可以利用根的判别式来判定函数y ax 2bx c〔a ,b, c为常数，且 a 0〕与 x 轴交点的个数(1) 当b 2 4 ac0 时, 抛物线与 x 轴有 两个交点 ;学习必备 欢迎下载(2) 当b 2 4 ac0 时, 抛物线与 x 轴有一个交点 ;(3) 当b 2 4 ac0 时, 抛物线与 x 轴无交点 .y5、抛物线ax 2bx c〔 a,b, c为常数，且 a 0〕与 y 轴的交点是〔0, c〕 .二 、 快 速 练 习1、抛物线 y〔x 2〕 23 的顶点坐标是（ ）A．（2，3） B ．（－ 2，3） C ．（2，－ 3） D ．（－ 2，－ 3）2、二次函数 y〔 x 1〕22 的最小值是（ ）A.2 （B）1 （C）-1 （ D） -2 第 3 题3、二次函数 yax 2bx c 的图象如下列图，如点 A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，就 y1 与 y2 的大小关系是（ ）A．y1 y2B． y1 y 2C． y1 y 2D ．不能确定4、抛物线 yax2 向左平移 5 个单位 , 再向下移动 2 个单位得到抛物线5、函数 y〔x 2〕〔3x〕 取得最大值时， x ．6、请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．①过点 〔3，1〕 ； ②当 x0 时， y 随 x 的增大而减小；③当自变量的值为 2 时，函数值小于 2．7、求函数 yx 2 6 x9 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标；三 、 重 点 突 破1、函数 yax 1 与 y2ax bxc〔a0〕 的图象可能是（ ）y y y y1 1 1 1xo o x o x o xA． B． C． D．2、小强从如下列图的二次函数2y axbx c 的图象中，观看得出了下面五条信息：（1）a 0 ；（2） c数有1 ；（3） b0 ；（4）a b c0 ； （5） a b c0 . 你认为其中正确信息的个A．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个3、抛物线y a〔 x1〕〔x3〕〔a0〕 的对称轴是直线（ ）A． x 1B． x 1C． x 3D． x 34. 已知抛物线 y=-x 2 +mx+n的顶点坐标是（ -1 ，- 3 〕 ，就 m和 n 的值分别是（ ）A.2,4 B.-2,-4 C.2,-4 D.-2,0学习必备 欢迎下载5．二次函数 y = ax 2+bx+c 的图像如下列图，就点（a , b c c）在直角坐标系中的A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限26、抛物线 y=x -〔m+2〕x+3〔m-1〕 与 x 轴的交点有 〔 〕A. 肯定有两个交点 B ．只有一个交点 C．有两个或一个交点 D ．没有交点7、已知抛物线过点A〔1,0〕 ，B〔0,3〕 ，且对称轴是直线 x2 （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 轴的另一个交点的坐标．8、抛物线y x2 2 x3 与 x 轴相交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D . 直接写出 A 、 B 、 C 三点的坐标和抛物线的对称轴 .10、如图，抛物线y ax 2 5ax4a 与 x 轴相交于点 A、B，且过点C 〔5，4〕 ．（1）求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在其次象限，并写出平移后抛物线的解析式．yC（ 5,4）A BO xP（第 10 题）四、拔高训练 1、如图 7，⊙O的半径为 2，C1 是函数 y= 12x2 的图象， C 是函数 y=- 122x2 的图象，就阴影部分的面积是 .2、把抛物线 y＝ax 2 +bx+c 的图象先向右平移 3 个单位， 再向下平移 2 个单位， 所得的图象的解析式是 y＝x 2 －3x+5，就 a+b+c= 3、二次函数y ax2bx c 的图象如下列图，就一次函数y bx b 2 4ac 与反比例函数y a b cy x在同一坐标系内的图象大致为（ ）1 O 1 xy y y yO x O x O x O xA． B． C． D．4、如图，已知二次函数y x2 2 x1 的图象的顶点为 A ．二次函数y ax 2bx 的图象与 x 轴交于原点 O 及另一点 C ，它的顶点 B 在函数2y x 2 x1 的图象的对称轴上．学习必备 欢迎下载（ 1 ）求点 A 与点 C 的坐标； （ 2 ）当四边形 AOBC 为菱形时，求函数2y axbx 的关系式．五、即学即练 1、把二次函数 y1 x 2 x43 用配方法化成 ya x h 2k 的形式A. y1 x 2 242 B.y 1 x 2 244 C. y1 x 2 244 D. y21 x 1 32 22、抛物线 y22〔 x m〕n （ m，n 是常数）的顶点坐标是（ ）A． 〔m， n〕B． 〔m， n〕C． 〔m， n〕D． 〔m， n〕3、二次函数 y23x 6x5 的图象的顶点坐标是（ ）A． 〔 1，8〕B． 〔1，8〕C． 〔 1，2〕D． 〔1， 4〕4．抛物线y x2 2x1 与 x 轴交点的个数是（ ）．（A）0 （B）1 （ C） 2 （D）35、已知 a0 ，在同始终角坐标系中，函数y ax 与 yax2 的图象有可能是（ ）y y y1 O 1 xy1 O 1 x1 O 1 x1 O 1 x6. 如二次函数Ay=mx2 -3x+2mB -m2 的图像过C原点，就 mD的值是 .8. 假如把抛物线 y=2x2-1 向左平移 l 个单位，同时向上平移 4 个单位，求得到的新的抛物线 9． 如图 6，一个二次函数的图象经过点 A、C、B 三点，点 A 的坐标为（ 1,0），点 B 的坐标为（ 4,0 ），点 C 在 y 轴的正半轴上，且 AB=OC． y（1）求点 C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．C10、已知二次函数 yx2 axa 2 ；求证：不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点；A O B x9 题。