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第八章 微分方程的解我们知道，许多由实际的科学或工程问题推出的数学模型是微分方程或微分方程组，不仅物理学等学科如此，现在它们几乎出现在自然科学、管理科学和工程技术的各个领域，甚至包括传统的实验科学，如化学、生物学、农学等等中微分方程的特点是未直接表达出变量间的函数关系，而是包含有导数的关系式与代数方程或方程组的解法相似，微分方程的解法也有解析法和数值法Mathematica能够用这两种方法来求解微分方程，涉及的命令分别为DSolve命令和NDSolve命令§8.1 微分方程的解析解Mathematica求解常微分方程的解析解法是DSolve命令，它既可用于解一阶常微分方程，也可用于其它阶的微分方程的求解；可以解单个的微分方程，也可以解微分方程组；可求无定解条件的通解，也可求有定解条件时的特解；可求初值问题的解，也可求边值问题的解其格式为：DSolve[微分方程, y[x], x]：解常微分方程的通解y(x)，其中有积分常数；DSolve[{微分方程, 定解条件}, y[x], x]：解常微分方程满足定解条件的特解y(x)；DSolve[{微分方程1, 微分方程2, …, 定解条件1, 定解条件2, …}, {y1[x], y2[x],…}, x]：解常微分方程组满足定解条件的特解y1(x), y2(x), …。

要注意的是，微分方程中的一阶导数应写作“y’[x]”，二阶导数写作“y’’[x]”，因变量y应写作“y[x]”通解中的常数为大写的“C”，并有方括号括住的序号下面分别举例说明8.1.1一阶常微分方程的通解例如，求一阶常微分方程的通解，此方程是可分离变量的微分方程 求一阶常微分方程的通解，此式为齐次常微分方程因方程中有三角函数，故系统警告可能会漏掉一些解 8.1.2一阶常微分方程的特解例如，解一阶常微分方程初值问题 的特解，有 已求得微分方程的通解，可在给出常数C的值后，求出特解例如微分方程的通解为：求C[1] = 0.5、1、2时的特解，有 又例如，解一阶常微分方程初值问题 的特解，有绘出解的图形， 8.1.3一阶常微分方程的边值问题 DSolve命令也可用来解一阶常微分方程的边值问题，例如对于边值问题8.1.4一阶常微分方程组的解析解例如，解一阶常微分方程组初值问题 ，有我们也可以画出特解的图形， 8.1.5高阶常微分方程的解析解 Mathematica可以解的高阶常微分方程主要是二阶常微分方程，即微分方程中存在着二阶导数DSolve命令可以解二阶线性常微分方程，它的形式为例如，解二阶常微分方程 解二阶常微分方程 的通解 还可以解二阶常微分方程的边值问题。

例如，解 ，这是一个第一边值问题，有 与下面的第二边值问题比较，实际上是同一个解又如解二阶常微分方程，这是一个比较复杂的第一边值问题，将结果化简，有解还过于复杂，取其数值解，有图形为， 对于更高阶的常微分方程，绝大多数非线性微分方程都不能用DSolve命令求解，多数变系数微分方程也不能求解，而大多数常系数线性常微分方程是可以求解的例如，三阶常系数常微分方程初值问题，有 又例如，三阶常系数微分方程 8.1.6 偏微分方程的解析解 偏微分方程是自变量个数为2个及两个以上的微分方程，方程式中出现的是偏导数DSolve命令可以解部分偏微分方程，其格式为： DSolve[偏微分方程, y[x1, x2, …], {x1, x2, …}]：解因变量为y，自变量为x1, x2, …的偏微分方程，偏微分方程中若含有定解条件，则得到特解，若无定解条件，则得到通解与常微分方程类似，微分方程中的因变量及各阶导数要写作自变量的函数的形式，偏导数可以由基本输入工具栏的偏导数符输入，也可由键盘输入，形式与6.2.3节的偏导数一致下面举例说明 例如，解一阶偏微分方程 的通解，有或者 在Calculus`DSolveIntegrals`程序包中有更多的解偏微分方程的命令，用于解非线性的偏微分方程。

例如对于非线性偏微分方程，有高阶的偏微分方程如抛物型方程、双曲型方程和椭圆方程等若使用DSolve命令进行解析求解，需要对原方程进行一些适当的变换，如分离变量等，才能进行，这里不再详述§8.2 微分方程的数值解 许多微分方程都没有解析解，或者是解析解十分复杂，不适合工程计算的需要在这种情况下，如果我们需要的是微分方程的解的数值，那么许多的微分方程都可以用数值解法求解Mathematica中微分方程的数值解法是NDSolve命令，执行这一命令后，系统并不输出微分方程的数值解，可以使用近似函数InterpolationFunction查询某一点的函数值，并可绘制解的图形，进行积分和微分的运算NDSolve命令的格式为： NDSolve[{微分方程, 定解条件}, y[x], {x, xmin, xmax}]：解常微分方程满足定解条件的在区间[xmin，xmax]的数值特解y(x)；NDSolve[{微分方程1, 微分方程2, …, 定解条件1, 定解条件2, …}, {y1[x], y2[x],…}, {x，xmin，xmax}]：解常微分方程组满足定解条件的数值特解y1(x), y2(x), …。

NDSolve[偏微分方程，定解条件，y[x1，x2，…]，{x1，x2，…}，{x1，x1min，x1max}，{x2，x2min，x2max}，…]：求因变量为y，自变量为x1，x2，…的偏微分方程满足定解条件的数值解 NDSolve命令有许多选项，例如MaxSteps是指定最大迭代次数，对常微分方程默认值为1000，对偏微分方程默认值为200，根据求解的精度要求，可以选择这些选项读者可以用Help命令查询 下面举例说明NDSolve命令的使用8.2.1 常微分方程的数值解例如，分别用DSolve和NDSolve命令解二阶常微分方程 用DSolve命令，有还可以求x=2时的函数值，较为复杂，化简为数值形式， 而用NDSolve命令，有求x=2时的函数值， 如8.1节所述，一些较复杂的常微分方程用DSolve命令无法求得解析解，用NDSolve命令可以求解例如，三阶常微分方程用DSolve命令无法求解，而用NDSolve命令可以求解，不能求解，只能输出原式，而用NDSolve命令，有 又例如，二阶非线性常微分方程采用DSolve命令求解，有不能求解，只能输出原式而用NDSolve命令，有若解的区间为[0，50]，则有在1000次迭代次数内，只能求至x=36.9844，需将MaxSteps选项增大，求出了指定范围内的全部数值解。

8.2.2偏微分方程的数值解 如8.1节所述，多数偏微分方程都不能得到解析解，而用NDSolve命令可以分别地求解例如，带固定边界条件的一维热传导问题是典型的抛物型偏微分方程，为第一边值问题，采用NDSolve命令求解，有第九章 插值与拟合插值与拟合都属于数据处理的范畴对于由实验等方法得到的一组数据，我们往往希望对其进行两方面的处理：一是找出能反映出这组数据所包含的内在的函数规律，并用数学表达式表达，以便分析函数的变化趋势及可能的物理意义；二是由已知数据估算出某一点处的函数值，并进而进行积分与微分的运算我们可以将前者的过程归纳为“从数据点→曲线”称为“曲线拟合（curve fitting），后者为“从已知数据点→未知数据点”，称为“插值（interpolation）本章分别介绍由Mathematica进行拟合和插值的方法§9.1 代数插值 9.1.1 多项式插值在Mathematica中的插值计算可采用Lagrange多项式进行代数插值，其命令为Interpolation[]，格式为： Interpolation[{{x1, f1}, {x1, f2,}, … {xn, fn}}]，InterpolationOrder->n]：利用n阶Lagrange多项式求插值的近似函数，多项式阶数的默认值为3。

如果数据组中的自变量为自然数，即1, 2, …m，则数据组中可不输入x的值，即 Interpolation[{f1, f2, … fn}]，InterpolationOrder->n] 执行Interpolation命令的结果是输出InterpolationFunction，即近似函数我们可以将其定义给一个函数，当给这个函数中的自变量赋值时，就输出我们要的该点的插值 例如，由数学常识可知函数在时的函数值试用Mathematica的Interpolation命令计算的近似值（精确值为0.7660444…）这里，{π/6，π/3}是插值函数的内插区间，<>代表未写出的插值多项式可以用生成的插值函数直接求得函数的近似插值，此解过于复杂，化为数值，有与精确值较为接近 Interpolation命令求取的是内插的值，如果输入的变量值超过内插的区间，系统会发出警告，并改用外插法（Extrapolation）求解，一般外插的误差较大例如仍采用上面的插值节点和函数值，求处的函数值，有两者相比，误差较大又例如，已知表格函数xi00.10.20.30.40.50.60.7y=f (xi)0.77161330.81361720.84999350.88122660.90778890.93012870.94866350.9637773求下列插值点的函数值，f (0.17520)，f (0.25386)，f (0.33565)，f (0.42078)，f (0.50946)。

此函数为 其中，双曲正弦函数 反双曲正弦函数 与下表中的真值比较，可见极为接近x0.175200.253860.335650.420780.50946真值y=f (x)0.841470.867420.891210.912760.93204 由上面例题可看出，Interpolation命令在多项式阶数的取默认值3时，实际为分段的抛物插值，具有计算工作量小，插值精度较高的优点使用Interpolation命令不仅可以求插值的近似值，而且可以绘制近似函数的图形，对其进行数值微分和数值积分的运算例如绘制上面的函数和的图形和两者的误差函数的图形，有可看出，在内插区间上两者误差很小，在区间之外，误差较大 此外，还可以由数据点直接求取插值多项式，其命令格式为： InterpolatingPolynomial[{{x1, f1}, {x1, f2,}, … {xn, fn}}，x]：求内插多项式 例如，对前面给出的在的函数值，求在区间[π/6，π/3]上的插值多项式，有 9.1.2 样条函数插值 由数值分析的学习，我们知道，为了避免高次Lag。