【数学】(完整版)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案).docx

用放缩法处理数列和不等问题（老师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）a n 的前 n 项的和Sn ，满意 2Snan1，试求：例 1．正数数列（1）数列a n的通项公式；112bn 的前 n 项的和为 Bn ，求证：（2）设bnB n，数列a n a n11) 2 ， n0 ，又由于1)2 ，作差得：2n2n 12 时，4S(a2)4 S(a4aaa n2aa2a1）由已知得解：（以 (a n，所nnn1n 1nnn11 )( an1，得ana1a na1an1ana n2 ，即是公差为 2 的等差数列，由为正数数列，所以112S11 ，所以an2n111)( 2n1 (112n) ，所以 1（2） bna n an(2n1)2 2n111 (1213131512 n12 n1212(2n12B)n111)4313n23n1的前 n 项的和真题演练 1： (06全国 1 卷理科22 题) 设数列an, Sna n2， n1,2,3, ggg2nSn32a1 与通项 a n ；（Ⅱ）设Tn.（Ⅰ）求首项， n1,2,3, ggg，证明：Tii 14124123n+1解: (Ⅰ ) 由 S n= an－ 2 + , n=1,2,3,得 a 1 =S1= a1－ 4+a1 =2，①所以333334132nS n－ 1= an－ 1－ 2 + , n=2,3， 4,再由①有3341n+1n将①和②相减得 : an=Sn－ Sn－ 1=3(a n－ an－ 1) －3 (2 － 2 ),n=2,3,n n－ 1整 理 得 : a n +2 =4(a n－ 1+2 ),n=2,3,n因而数列 { a n+2 } 是首项为,n n－ 1, 即 : a n +2 =4 4 =,a1+2=4, 公比为 4 的等比数列nnn4 , n=1,2,3,,因 而 an=4 － 2 , n=1,2,3,4121nnnnn+1n+1n+1( Ⅱ ) 将 an=4 －2 代入①得S n= 3 (4 － 2 ) － 3 2 + 3 =3 (2 － 1)(2 － 2)2n+1n= 3(2 － 1)(2－ 1)nn2323112 － 1Tn=== ()－n+1nnn+1S2 (2－ 1)(2－ 1)2 2 － 1nnn321( 2i － 11－ 2i+1 － 1) =311n 132所以 ,Ti=2 ( 21－ 1) <－21i 1i 1二．先放缩再求和11．放缩后成等比数列，再求和12例 2．等比数列a，前 n 项的和为S ， 且S , S , S 成等差数列．a中，n7 9 8n12an13bn前 n 项的和为 Tn ，证明： Tnbn设，数列．1ana9a812AAaaA Aaaaaq解：∵，，，∴公比．978989989914 n(1(13 21nbnan()2∴．．nnn1242)) n1AqnSAn 项和的模拟公式（利用等比数列前猜想）n1 (12112212)13 212 212n13112n13(13)Bnb1b2bn∴．33N *真题演练 2： (06福建卷理科 22题) 已知数列aa1,a2a1(n).满意1n1nn（I ）求数列an的通项公式；4b114b21 L 4bn11)bnN *b(a(n) ，证明：数列b（II ）如数列滿足是等差数列；nnna1a2a2a3anann213n (n 2N*（Ⅲ）证明：...) .1N * ),（I ）解： Q an2an1(n1an1an1 2(an1),是 以 a112 为首项，2为公比的等比数列11 2n. 即22*aa1(nN ).nnQ 4k114 k21...4kn11)kn .(an（II ）证法一：4( k1 k2... kn )n2 nkn .2[(b1b2...bn )n]nbn ,①2[(b1b2...bnbn 1 )( n1)](n1)bn 1 .②2(bn1)(n1)bnnbn ,②－①，得11(n1)bnnbn20, nbn(n1)bn20.即1212③－④，得nbn2nbnnbn0,21N *bbbb (n),bb2bb0,即是等差数列n2n 1n1nn 2n 1nn2k2 k 12ka1111k）证明： Q（III, k1,2,..., n,12a2kk 12(2)a1a2a2a3anann . 2...12k2ka1112111212k12131k. , k1,2,...,n,Q12(2k3.2k2ka1)2k1a1aa2anan 1 ( 12 3 212212nn21 (1312nn21 ,3......))a23n1n213a1a2a2a3anann ( n 2N * )....12．放缩后为“差比”数列，再求和nn11{ an } 满意：例 3．已知数列an(1n ) an (n1,2,3) ．求证：anan3a11 ，11n22n2 na(1) aa与 aa10 ，所以a0 ，证明：由于，所以同号，又由于n1nn1n1nnan ．所以数列 { an }0 ，即a n为递增数列，所以 a na11 ，即ana na n11n2n2 nn 2 nn12222n 12n 1anananana1即，累加得：．11221112122n 1令SnSn，所以，两式相减得：2n23n22221 S1212212 312n 1n2n1，所以n1，所以 an2n1，S23nnn2 n 112n21n 1anan3故得．13．放缩后成等差数列，再求和2{ an}的前 n 项和为 Sn ,例 4．已知各项均为正数的数列且 anan2Sn .322aa4nn1(1)S求证：；nSn2Sn11(2)SSS求证：12n222nn1，得解：（ 1）在条件中，令，又由条件 aa2S 有aa2S2aa0a1，111111nn2n 1aa2 SaSS得，上述两式相减，留意到n 1n1n 1n1n(anan )( ana n1)0a n0ana n0∴ anan11111n( n21)所以， a n( nn ，111)Sn22n 21) 2aa4n( n21)12(n2nn 1S.所以nn2n(n 1)2n12nn( n1)n1，所以（2）由于，所以1223n( n21)2232n12SSS12n22n 22S13n21222n2n( n21)2Sn1nSSS；12n22练习：143421. （ 08 南京一模22 题）设函数f ( x)xbx,f (cos)0 且，已知不论为何实数，恒有N * ) .f (2sin)0 . 对于正数列aSf (a ) ，(n，其前 n 项和nnn( Ⅰ )b 的值；（ IIan求实数）求数列的通项公式；1an16c.（Ⅲ）如c, nN，且数列TT的大小并证明之的前 n 项和为，试比较和nnnn。