第三章 函数的概念与性质考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝的值域是( B )A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)[解析] 由题意知，函数y＝的定义域为R，则x2＋1≥1，∴y≥1.2．已知f(x－1)＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( B )A．－ B．C． D．－[解析] 设x－1＝t，则x＝2t＋2，t∈R，∴f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，∴f(x)＝4x－1.由f(a)＝6得4a－1＝6，即a＝.3．(2019山东烟台高一期中测试)已知函数y＝f(x)的部分x与y的对应关系如下表：x－3－2－101234y32100－1－2－3则f[f(4)]＝( D )A．－1 B．－2C．－3 D．3[解析] 由图表可知，f(4)＝－3，∴f[f(4)]＝f(－3)＝3.4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，)，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间[，1]上的最小值是( C )A．－1 B．－2C．－3 D．－4[解析] 由已知得2α＝，解得α＝－1，∴g(x)＝＝1－在区间[，1]上单调递增，则g(x)min＝g()＝－3，故选C．5．(2019吉林榆树一中高一期中测试)已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值是( B )A．－2 B．6C．1 D．0[解析] 解法一：令x－1＝2，则x＝3，∴f(2)＝32－3＝6.解法二：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2－3＝t2＋2t－2，∴f(2)＝22＋22－2＝6.6．(2019吉林乾安七中高一期测试)已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋m2－7m＋12为偶函数，则m的值是( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析] 由题意得m－2＝0，∴m＝2.7．“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1和s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，s为路程，则下列图象中与故事情节相吻合的是( D )[解析] 根据题意：s1是匀速运动，路程一直在增加，s2有三个阶段：开始是路程增加，中间睡觉，路程不变；醒来时发现乌龟快到终点了急忙追赶，路程增加；但是乌龟还是先到终点，即s1在s2上方，故选D．8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)且在区间[0,2]上是增函数，则( D )A．f(－1)f(0)，即f(1)>0，所以f(－1)＝－f(1)<0，f(3)＝f(1)>0，可得f(－1)f(x)B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0[解析] 根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若>0，必有f(x1)－f(x2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．(2019陕西黄陵中学高一期末测试)函数f(x)＝＋的定义域是__{x|x≤2且x≠－1}__.[解析] 由题意得，解得x≤2且x≠－1，∴函数f(x)的定义域为{x|x≤2且x≠－1}．14．已知f(x)＝则f(－)＋f()等于__4__.[解析] ∵f(x)＝∴f(－)＝f(－＋1)＝f(－)＝f(－＋1)＝f()＝2＝，f()＝2＝，∴f(－)＋f()＝＋＝4.15．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则f()＝____，函数f(－1)的定义域为__(0,1]__.[解析] 幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，所以3＝9α，所以α＝，所以幂函数f(x)＝，故f()＝，故－1≥0，解得00，求f(x)的定义域；(2)若f(x)在区间(0,1]上单调递减，求实数a的取值范围．[解析] (1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即函数f(x)的定义域是(－∞，]．(2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上单调递减，则需3－a1≥0，此时10，且3－a1≥0，此时a<0.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．19．(本小题满分12分)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为P＝(t∈N*)．设商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(00，x1＋x2＋2>0.∴(x2－x1)(x1＋x2＋2)>0.∴f(x2)>f(x1)．∴函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是增函数．假设存在符合条件的区间[a，b]，则有，即.解得或或或.又∵－1≤a0，那么该函数在(0，)上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．[解析] (1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，设u＝2x＋1，x∈[0,1]，∴1≤u≤3，则y＝u＋－8，u∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减，所以单调减区间为[0，]；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，所以单调增区间为[，1]；由f(0)＝－3，f()＝－4，f(1)＝－，得f(x)的值域为[－4，－3]．(2)g(x)＝－x－2a为减函数，故g(x)∈[－1－。
