计算固体力学讲义(第一部分).doc

1原名原名《《变分及有限元素法原理变分及有限元素法原理》》教案教案 现在用名现在用名《《计算固体力学计算固体力学》》讲义讲义参考书参考书 1．诸德超. 升阶谱有限元素法.国防工业出版社； 2．胡海昌. 弹性力学的变分原理及其应用.科学出版社，1981 3．冯 康. 弹性结构的数学理论.科学出版社，1987 4．胡海昌. 变分法；教授本课程的基本思想教授本课程的基本思想：回答如下问题 “计算”主要体现在有限元离散数值方法上为了讲清楚和帮助学生理解如何才能高精度、 高效和可靠地得到所需要的数值结果，需要如下知识： 有限元方法的理论基础是什么？ 如何进行有限元离散？（精度和效率） 如何构造的单元以及单元的性能（收敛性）是什么？（精度和效率） 有限元的计算结果与精确解和试验结果的关系是什么？（精度） 有限元静动力平衡方程是如何求解的（差分及各种各样的求解方法）？（精度和效率）如何保证有限元结果向正确解收敛？（精度和效率） 为何有限元得到如此普遍的应用？（商用软件的开发和能够求解问题的广泛性） 有限元适合求解什么样的问题？（适用性和可靠性）总的思路：总的思路： 基本原理（变分原理和各种工程理论）――单元及性能（低阶、高阶及非协调）――离散 平衡方程的求解――结果的特征分析变分原理包括：最小势能原理，Rayleigh 商和 Hamilton 变分原理； 工程理论：杆、梁（Euler 和 Timoshenko） 、板（Kirchhof 和 Midlin）理论和平面理论。

单元的阶次：基本单元，高阶单元，升阶谱单元 单元的协调性：杆、梁和平面单元是协调的，但板单元基本是不协调的离散平衡方程的求解：各种差分方法和算法（保结构和不保结构，人工阻尼现象）结果的特性：协调单元的结果，非协调单元的结果2第 1 讲强调变分原理的数学和物理含义；强调变分原理的运算法则；强调变分原理与弹性力学的等价性要求同学熟练掌握最小势能原理、Hamilton 变分原理与 Rayleigh 商一、引言一、引言 1．解决实际问题的基本步骤．解决实际问题的基本步骤本课重点图 1.1 实际问题的分析步骤2．力学体系．力学体系为了建立力学模型，首先应该知道基本的力学体系1）牛顿矢量力学体系：取微元，根据受力分析得到平衡方程；（2）拉格朗日分析力学体系：利用广义坐标表示能量，然后根据与能量有关的力学定律 如 Lagrange 方程得到数学模型或平衡方程二二 有限元方法的理论基础有限元方法的理论基础（（1）变分原理）变分原理变分原理：求泛函驻立值的数学方法因为泛函不一定存在极值，所以这里用驻立 值最小势能原理：求势能泛函极小值的数学方法结构的真实位移函数使该结构的势 能泛函取极小值Hamilton 变分原理Rayleigh 商（（2）离散数学是有限元素法收敛性证明的数学工具）离散数学是有限元素法收敛性证明的数学工具下面首先讲述的就是理论基础。

三三 变分原理变分原理考虑图所示杆件结构实际问题力学模型数学模型求解方法结果分析实验验证3图 杆结构系统EAlxf,),(系统的势能泛函为ll fudxdxdxduEA00221变分原理要求寻找一个位移函数使上述泛函获得驻立值由于一个稳定的结构的势能 泛函有唯一的极小值，此时泛函驻立值问题也就是泛函极值问题为了能够更加清楚地了解变分原理，现在对其发展过程做一简单概括： 1 发展的两个阶段发展的两个阶段 1）早期工作：把泛函驻立值问题转化为微分方程问题（问题）早期工作：把泛函驻立值问题转化为微分方程问题（问题 1））微分方程发展在先，变分原理发展在后因此在早期，一旦把泛函驻立值问题转化为 微分方程问题，便认为问题已经解决，至少基本解决自从里兹提出直接求解泛函驻立值或极值的近似方法（即著名的 Ritz 法）后，人们发 现如果为了求近似解，从泛函的驻立值或极值出发，通常比从微分方程出发更方便从电 子计算机广泛使用后，这种观点越来越得到赞同于是人们的研究目标从原来把泛函驻立 值或极值问题转化为微分方程问题，逐步转变到把微分方程问题转变到泛函驻立值或极值 问题上 2）后期工作：把微分方程问题转变到泛函驻立值或极值问题（问题）后期工作：把微分方程问题转变到泛函驻立值或极值问题（问题 2））对问题 1，经过欧拉、拉格朗日以及其他数学工作者的努力，已经建立了比较成熟、 系统的方法。

对问题 2，尚存在可能性问题目前用得多的主要还是根据微分方程的物理和工程背 景，采用尝试和核对的方法即先猜想一个泛函的驻立值或极值问题，然后核对其是否与 原来的微分方程等价2．变分与微分．变分与微分参见图y,YY(x)δydy y(x)dx x 图 变分与微分示意图1）微分）微分：自变函数不变，，称为自变函数微分，且)(xy0dxdydxydy2) 变分变分：自变量不变，，称为自变函数变分，且x0dyy)()(xyxYy43) 变分性质变分性质：1）变分和微分次序可以互换 )(yy证明： )()()(yyYyYdxdydxd2）变分运算法则和微分运算法则一致ynyynn1)(3）分部积分bababavdxuvudxvu注意：都是无穷小量，符合无穷小量运算法则ydydx,,3 一阶和二阶变分一阶和二阶变分： 考察泛函badxyyxF),,(若自变函数有一个微小增量，则势能泛函的增量为badxyyxFyyyyxF),,(),,(把上式 Talor 展开得到      dxyyFyyyyFyyFdxyyFyyFdxyyxFyyyyxFbababa2 222 2 22 221),,(),,(定义上式中的右端第一项为该泛函一阶变分为，即dxyyFyyFba   右端第二项为该泛函二阶变分为，即dxyyFyyyyFyyFba   2 222 2 22 2221式中，故的括号不能省略。

22)( yy)(2y对一阶变分内部进行分布积分可以得到5bababayyFydxyF dxd yFdxyyFyyF           若要上式取极值，则可以得到欧拉方程和边界条件欧拉方程0     yF dxd yF边界条件0bayyF对应更一般的问题，可以考虑如下泛函tnndttqtqtqtqtqtqtLI02121))(,)(),(),(,)(),(,(上式泛函取极值的条件为其一阶变分等于零，即000101              ti itiniiitnii ii iLdtL dtd qLdtLLI即拉格朗日方程0iiqL dtd qL （一定为零，Hamilton 变分原理的条件）00ti iL由此可见，欧拉方程可以由拉格朗日方程导出，此即是 Hamilton 变分原理4 驻立值的判断方法驻立值的判断方法在求泛函的极值时,可以根据的符号来判断是否取极大或极小值 ,结论如下:2, , 取极大值;002, , 取极小值;002, , 取非极小的驻立值;002, , 取非极大的驻立值; 002, , 取非极值的驻立值;002例例 1.1：试利用图所示系统说明最小势能原理：试利用图所示系统说明最小势能原理若用牛顿力学方法，则直接可以得到该系统的静平衡方程0 wkx6下面用变分原理或最小总势能原理。

势能泛函为， wxkx 2 210wkxdxd即， wkx 2 min21kx并且外力势为内力势的 2 倍此处强调能量的守恒概念：此处强调能量的守恒概念：为何外力功不等于弹2kx2/2kx簧储存的能量？（作用在弹簧端点的力是，从弹簧原始长度到静平衡位置过程中，该力kx 是变化的；而重力本身是不变的，只是在平衡位置，二者相等）还可以举一个能量守恒的例子：力 F 作用在质量为 m 的刚性物体上，物体在光滑的平 面上运动 有如下关系：，，vmtFvdtmtdtF 00 0)()(dtvvmdttF 00 0)(dttmFvvdt若力 F 不变，则有（高中物理匀加速运动公式）2 0 021mFvvdts而速度mFvv0令外力功为，而物体的动能为显然二者相同00v2221mFsF22 2 21 21mFmv 图 单自由度振动系统作业：作业：用图示两个自由度系统说明最小势能原理，比较两种坐标体系下的结果 要求：列出势能泛函；推导平衡方程，分析两种平衡方程的差异；验证外力功等于弹簧能7量的二倍；若弹簧力为（非线性弹簧）上述结论是否仍然成立。

)(3xxkk1w1x1 (绝) x1 (绝)k2w2x2 (绝) x2 (相)图 1.3 双自由度振动系统例例 2 针对图 1.4 杆系统势能泛函，试推出微分方程和边界条件并且写出该势能泛函的一 阶和二阶变分表达式首先，写出一阶和二阶变分：函数=，根据一阶变分公式（Talor 展开的线性部分）得：),,(uuxFfuuEA221ll udxfdxdxdu dxduEA00根据二阶变分公式（Talor 展开的二阶部分）得：002 2l dxdxduEA由此可见，系统势能泛函有极小值，这说明系统是稳定的下面求微分方程和边界条件：根据泛函取极值的必要条件()我们有0ll udxfdxdxdu dxduEA00 lbludxfdxduEAdxdudxduEA00若要该一阶变分为零，必须有：域域 内内： 这就是平衡方程平衡方程或称为欧拉方程欧拉方程0fdxduEAdxd否则就能够找到一个使上面一阶变分表达式中的积分项大于或小于零。

经过同样的分析，u 可以得到下面边界条件固定端固定端：不变，故（强制边界条件，或位移边界条件，该条件是已知的，是强制边界条件，或位移边界条件，该条件是已知的，是u0u 变分约束条件变分约束条件） ；自由端自由端：可变，故，（此边界条件是根据泛函取极值要求得到的，不u0u0 u8是指定的，故称为自然边界条件，或力的边界条件自然边界条件，或力的边界条件） 下面验证外力功为杆应变能的二倍： 外力功：dxdxduEAdxdxduEAdxduEAudxdxduEAdxdufudxlllll2020000而应变能显然二者是两倍关系l dxdxduEA0221从上面结果显然可以得出结论，最小势能原理与弹性力学是等价的作业：作业： 试根据图 1.6 所示系统的势能泛函确定其微分方程和边界条件f1(x) f2(x)k Px(EA)1, l1, u1 (EA)2, l2, u2 图 1.6 二杆系统。