《1.4.1正弦、余弦函数的图象》.ppt

正弦函数、余弦函数的图象,三角函数,三角函数线,正弦函数 余弦函数 正切函数,正切线AT,1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象,,,,,x,P,,M,A(1,0),,T,sinx=MP,cosx=OM,tanx=AT,注意：三角函数线是有向线段！,正弦线MP,余弦线OM,复习回顾,y=sin x x0,2的图象的几何作法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,描图：用光滑曲线 将这些正弦线的终点连结起来,,,A,B,作法：,（1）等分,（2）作正弦线,（3）平移,（4）连线,新课讲授,如何作出y=sin x，xR的图象？,因为终边相同的角有相同的三角函数值，即sin(x+2k)=sinx，kz所以函数y=sinx，x2k，2(k+1)），kz且k0的图象与函数y=sinx，x0,2）的图象的形状完全一致，我们只要将函数y=sin x，x0,2）的图象向左，向右平行移动（每次2个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx，xR的图象，即正弦曲线。

正弦曲线,探究： 你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数y=cos x的图象吗？,,提示： 由诱导公式六，我们有y = cos x = sin( + x)，xR，即y = cos x的图象就是y = sin( + x)的图象，那么y = sin x与y = sin( + x)的图象又有什么区别？,余弦函数的图象,正弦函数的图象,,y=cosx=sin(x+ ), xR,余弦曲线,正弦曲线,,形状完全一样只是位置不同,正弦曲线、余弦曲线的特征：,（1）图象为光滑的曲线，形如横“S”型的连接,（2）图象每隔2都会重复出现,（3）图象是夹在y = 1与y = -1之间的曲线,在作出正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？,,,,,,(0,0),( ,1),( ,0),( ,-1),( 2 ,0),五点画图法,简图作法：,（1）列表（列出对图象形状起关键作用的五点坐标）,（2）描点（定出五个关键点）,（3）连线（用光滑的曲线顺次连接五个点）,找出余弦函数y = cosx，x 【0，2】图象的五个关键点？,,,,,,(0,1),( ,0),( ,-1),( ,0),( 2 ,1),五点法,,探究：,例1 画出函数y=1+sinx，x0, 2的简图：,0 2 ,0,1,0,-1,0,1,,o,1,,,,,,,-1,2,y=sinx，x0, 2,y=1+sinx，x0, 2,,,,,,,步骤： 1.列表 2.描点 3.连线,,,解：按五个关键点列表：,描点并将它们用光滑曲线连接起来：,1,2,1,0,,练习1：画出y=1-sinx，x0，2的简图,0 2 ,0,1,0,-1,0,1 0 1 2 1,,o,1,,,,,,,-1,2,y=sinx，x0, 2,y=1-sinx，x0, 2,,,,,,,,解：按五个关键点列表：,描点并将它们用光滑曲线连接起来：,例2 画出函数y= - cosx，x0, 2的简图：,0 2 ,1,0,-1,0,1,-1,,,,,,y= - cosx，x0, 2,y=cosx，x0, 2,解：按五个关键点列表：,描点并将它们用光滑曲线连接起来：,-1,0,1,0,0 2 ,练习2：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx，x0, 2 和 y= cosx，x , 的简图：,,y=sinx，x0, 2,,,,,,,,,,,,y= cosx，x , ,,向左平移 个单位长度,1,0,0,-1,0,0 ,解：按五个关键点列表：,描点并将它们用光滑曲线连接起来：,小 结,1. 正弦曲线、余弦曲线,2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系,,,,,,y=sinx，x0, 2,y=cosx，x0, 2,,,,,,,作业：课本46页，第1题,1.4 正弦余弦函数的性质,(1)周期性,举例： 生活中“周而复始”的变化规律。

日出 日落 、白天 黑夜 、四季更替,问题： 三角函数值是否具有“周而复始”的变化规律？ 公式(一),诱导公式sin(x+2) =sinx,的几何意义,,,,,,,X,X+2,X,X+2,,正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的,能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函数的规律性？,,,,,,,,,正弦曲线,x,y,o,1,-1,-2,-,,2,3,4,,,,,,,,,,,,,,-2,-,o,,2,3,x,,-1,,1,y,余弦曲线,,,,,,,,,,,如何用数学语言刻画周期性,对于函数 ，如果存在一个非零常 数 ，使得当 取定义域内的每一 个值时，都有 ， 那么函数 就叫做周期函数， 非零常数 叫做这个函数的周期1、周期的定义,正弦函数和余弦函数的周期都是 2k,1sinx，cosx 的周期是2 4 6 -2-4-62k. 2如果T是函数f (x) 的周期，那么2T 3T kT也是函数f(x)的周期. 3 对周期函数定义中的“定义域中的每一个值x ”的要求，而不是某一个值.,思考：一个周期函数的周期有多少个？,练习：判断下列说法是否正确,,,,2、最小正周期的定义 对于一个周期函数 如果在它所 有的周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小的正数就叫做 的最小正周期。

说明： 我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；,解:(1),是以2为周期的周期函数.,这里的周期指的是最小正周期!,的周期为.,(3),的周期为,解:(2),若 则,归纳总结,一般地，函数 及 （其中 为常数，且 ）的周期是,(1) 求下列函数的最小正周期,练习：,P36 练习 1, 2,1.周期函数、最小正周期的定义；,小结：,和,型函数的周期的求法函数 y = tan x是周期函数吗？,如果是，那么它的最小正周期是多少？,课后思考,正弦函数、余弦函数的性质（二）,y = sin x ( xR),y = cos x ( xR),,,定义域,周期性,R,T = 2,复习引入:,正弦、余弦函数的图象,,-1,y,1,,x,o,,,,,y = sin x ( xR),,由诱导公式sin( -x )=,正弦曲线关于坐标原点O对称,奇偶性,正弦函数 y = sin x，（xR）是奇函数,-sin x，,-1,y,1,,x,o,,,,,y = sin x ( xR),奇偶性,由诱导公式cos( -x )=,余弦曲线关于 y 轴对称,y = cos x (xR),余弦函数 y = cos x，（xR）是偶函数,cos x ,,y = sin x ( xR),y = sin x ( xR),单调性,, 0 ,,-1,0,1,0,-1,,,,,单调性,正弦函数 在每一个闭区间 上都是增函数，其值从-1增大到1；,,,,,,,,,- 0 ,-1,0,1,0,-1,,,,,y = cos x ( xR),单调性,y = cos x (xR),单调性,例1. 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：,解：（1）因为,例题,解：,即,因为 ，且函数 是减函数， 所以,例题,练习1,利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：,答案：,正弦函数当且仅当 时取得最大值1，,当且仅当 时取得最小值-1；,y = sin x ( xR),最大值与最小值,,,,,,,,余弦函数当且仅当 时取得最大值1，,当且仅当 时取得最小值-1,最大值与最小值,y = cos x ( xR),例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量 x 的集合，并说出最大、最小值分别是什么.,解：,这两个函数都有最大值、最小值.,（1）使函数 取得最大值的 x 的集合，就是使函数 取得最大值的 x 的集合,使函数 取得最小值的 x 的集合，就是使函数 取得最小值的 x 的集合,函数 的最大值是1+1=2；最小值是 -1+1=0.,例题,解：,因此使函数 取最大值的 x 的集合是,同理，使函数 取最小值的 x 的集合是,函数 取最大值是 3，最小值是 -3.,令 z =2x ，使函数 取最大值的 z 的集合是,例题,对于形如 的函数，一般通过变量代换（如设 ）化归为 的形式，然后求解,方法总结：,练习,求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并写出最大值、最小值各是多少 （1）y = 2sin x，x R,答案：(1）当 时，函数取得最大值2.,当 时，函数取得最小值-2.,（2）当 时，函数取得最大值3.,当 时，函数取得最小值1.,例3.求函数 的单调递增区间.,解：令 函数y = sin z的单调递增区间是,由,得,设,例题,易知,所以函数 的单调递增区间是,求函数 的单调递减区间,练习3,答案：,求函数 的单调递增区间.,思考,？,课堂小结：,y = cos x (xR),y = sin x ( xR),奇偶性,正弦函数是奇函数.,正弦函数是奇函数.,余弦函数是偶函数.,单调性,正弦函数 在每一个闭区间 上都是增函数，其值从-1增大到1；,在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到-1,余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从 -1增大到1；,在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到-1,最大值与最小值,正弦函数当且仅当 时取得最大值1，,当且仅当 时取得最小值-1；,余弦函数当且仅当 时取得最大值1，,当且仅当 时取得最小值-1,。