高一数学第2讲.doc

高一数学第2讲高一数学第2讲 主 讲:潘慰高(高级教师,市数学学科带头人,省教育电视台《高中教学解 　　　　　　　　　题方法》主讲教师) 主 审:金立建(特级教师,省教育电视台《高中生学习指导》主讲教师) 一.本讲教学进度 (代数)1.2—1.4(P13—26) 二.教学内容 　 1．并集.2.｜a_＋b｜＜C,｜a_＋b｜＞C型不等式.3一元二次不等式. 三.重点难点剖析 1．补集 (1)全集全集是一个相对的概念,它含有与所研究的问题有关的各集合的全部 元素.在研究不同问题时,全集也不一定相同. 　　(2)补集必须注意,是对于给定的全集I而言的,在不同的问题中全集可能不同,也可能不同.如A＝｛1,2｝,当I＝｛1,2,3,4｝时,＝｛3,4｝;当I＝｛1,2,3,4,5,6,7,8｝时,＝｛3,4,5,6,7,8｝. 　 例1　已知I＝R,A＝｛_｜1＜_≤3｝,求, A∪,A∩ 解 　＝｛_｜_≤1,或_＞3｝. 　　　A∪＝｛_｜1＜_≤3｝∪｛_｜_≤1,或_＞3｝＝R＝I, 　　　A∩＝｛_｜1＜_≤3｝∩｛_｜_≤1,或_＞3｝＝_AElig;. 说明　在开始学习解这类题时,应画出数轴并借助于数轴求解,否则容易出错. 　 例 2 已知I＝｛１,２,３,４,５,６｝,A＝｛3,4,5｝,B＝｛4,5,6｝,求,,∪,A∩B,. 解 ＝｛1,2,6｝, ＝｛1,2,3｝,∪｛1,2,3,6｝, 　　A∩B＝｛4,5｝,＝｛１,２,３,６｝. 评析 由例2,有()＝∪.可以通过韦恩图验证,这个等式对任意的集合A.B.I都能成立. 例3　已知I＝R,A＝｛_｜_≥3｝,B＝｛_｜_≤1｝,求,,∪,. 解 　＝｛_｜_＜3｝, ＝｛_｜_＞1｝, 　　 ∩＝｛_｜1＜_＜3｝, 　　　A∪B＝｛_｜_≤1或_≥3｝, 　　　()＝｛_｜1＜_＜3｝. 评析 由例3,有()＝∩,可以通过韦恩图验证,这个等式对任 意的集合A.B.I都能成立. 例4 　用n(A)表示有限集A的元素的个数. (1)已知n(A)＝20,n(B)＝15,n(A∪B)＝28,求n(A∩B);　　Ａ　　　Ｂ 　(2)已知n(A∩B)＝4,n(A∪B)＝18,n(A)＝10,求n(B) 解(1)设n(A∩B)＝_,由韦恩图,　　　　　　　　　　　20－_　_　15－_ 　　 ∵n(A∪B)＝28, 　　 ∴(20－_)＋_＋(15－_)＝28, 　　 ∴_＝7,即n(A∩B)＝7.　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　Ｂ 　(2)设集合B中不属于A的无素有_个. 　　 由韦恩图,及n(A∪B)＝18,　　　　　　　　　　　　10－4＝6　4　 _ 　　 10＋_＝18,∴_＝8. 　　 ∴n(B)＝4＋8＝12. 评析 可以用韦恩图验证,一般地有n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)．但不必硬记这个式子,在涉及到有限集的元素个数时,通常只要适当地设未知数,然后利用韦恩图及已知条件,就可以求得结果. 2.｜a_＋b｜＜c,｜a_＋b｜＞c型不等式 (1)设f(_)＝a_＋b,一般地,有如下结论: 　 ①当c＞0时,｜f(_)｜＜c的解为－c＜f(_)＜c,｜f(_)｜＞c的解为f(_)＜－c或f(_)＞c 　 ②当c＝0时,｜f(_)｜＜c无解,｜f(_)｜＞c的解即f(_)≠0的解. 　 ③当c＜0时,｜f(_)｜＜c无解,｜f(_)｜＞c的解是全体实数. 　 例5　求满足｜2_－1｜＝｜3_＋4｜的_的值. 解 由绝对值的定义,2_－1＝3_＋4或2_－1＝－(3_－4),∴_＝－5或_＝－. 　例6 求下列不等式的解集: (1)2＜｜3_－1｜≤5;(2)｜2_＋1｜≤t2＋3(t∈R)． 解　①不等式的解即不等式组的解: 　　　 　　　  　　3_－1＜－２或３_－１＞２ 　　　　－５≤３_－１≤５ 　　　　３＜－或_＞１ 　　　　－≤_≤２ 　　　　∴不等式的解集为｛_≤－≤_＜－,或1＜_≤2｝． 　　　②∵t∈R,∴t2＋3＞0. 　　　　－(t2＋3)≤2_＋1≤t2＋3,－t2－2≤_≤t2＋1. 　　　　∴不等式的解集为｛_｜－t2－2≤_≤t2＋1｝. (2)对于含有几个绝对值的代数式或不等式,可以用零点分段的方法去掉绝对值符号.　　例7 (1)解方程:｜_－3｜＋｜_＋2｜＝6; 　　　　　 (2)解不等式:｜_＋2｜＋｜_－1｜＜5. 　 解　(1)零点为3,－2,分三段讨论. 　　　　　　当_＜－2,方程为3－_－(_＋2)＝6,_＝－; 　　　　　　当－2≤_≤3,方程为3－_＋_＋2＝6,5＝6,无解; 　　　　　　当_＞3,方程为_－3＋_＋2＝6,_＝. 　　　　　∴方程的解集为｛－, ｝. 　　　　(2)当_＜－2,不等式为(1－_)－(_＋2)＜5,_＞－3,∴－3＜_＜－2; 　　　　　当－2≤_≤1,不等式为(1－_)＋(_＋2)＜5,3＜5,∴－2≤_≤1; 　　　　　当_＞1,不等式为(_－1)＋(_＋2)＜5,_＜2, 　　　　　∴1＜_＜2. 　　　　　∴不等式的解集为｛_｜－3＜_＜2｝. 　　评析 ①所谓〝零点〞,即使绝对值为零的_的值.若有n个零点,则分n＋1个情况讨论.由于在每区间内可以去掉绝对值符号,就把含有绝对值的方程或不等式转化为普通的方程或不等式去解. 　　②在每一区间中求方程或不等式的解时,所求得的解必须在这个区间中. ③上面的解法是含有绝对值的问题的基本方法,这两题也可以从绝对值的几何意义直接得到它们的解. 　　　　－２－１　 ０　 １　 ２　３　　　　　_　　 　　解 ｜_－3｜＋｜_＋2｜＝6,即求数轴上到3和－2的对应点距离和等于6的点所对应的数．由数轴知,3－(－2)＝5,所以该点在3对应点的右边或在－2对应点左边个单位,即_＝3或_＝－2. 　　解 ｜_ －1｜＋｜_＋2｜＜5,即求数轴上到1和－2对应点距离和小于5的点所对应数的范围．由数轴知,1－(－2)＝3,所以_应满足－3＜_＜2. 　　 　　　　　　　　－２　－１０　 １ 　２　３　　　　　　_ 3.一元二次不等式 　　(1)一元二次方程a_2＋b_＋c＝0(a≠0)解的符号情况: 方程有两个正根 方程有两个负根 方程有一个正根一个负根_1_2＝＜0(此时必有Δ＞0). 　　 (2)一元二次不等式.只要熟练掌握相应的抛物线与_轴位置关系,就能迅速准确地求得不等式的解.对于不等式a_2＋b_＋c＞0(＜0),实际上就是要求抛物线y＝a_2＋b_＋c在_轴上方(下方)的点的横坐标的范围. 借助于图象,把一元二次不等式的解的情况列表如下(设a＞0): Δ的情况 图象 不等式 不等式的解 Δ＞0 a_2＋b_＋c＞0 _＜_1或_＞_2 a_2＋b_＋c＜0 _1＜_＜_2 Δ＝0 a_2＋b_＋c＞0 _≠_1 a_2＋b_＋c＜0 _∈_AElig; Δ＜0 a_2＋b_＋c＞0 _∈R a_2＋b_＋c＜0 _∈_AElig; 　　对于含有等号的不等式或a＜0的情况,类似地可以由图象得出不等式的解.但习惯上解一元二次不等式时,常使二次项系数a＞0. 　　例8 已知关于_的方程(k－1)_2＋(k＋1)_＋k＋1＝0有两个相异实根,求实数k的取值范围. 解 由题设,得 　　 由②,(k＋1)(k＋1－4k＋4)＞0,－1＜k＜. 　　 ∴实数k的取值范围为－1＜k＜,且k≠1. 评析　①两个〝相异〞实数根即两个不等的实数根,不同于两个〝异号〞实数根. 　　② 当二次项系数含有字母时,要注意仅当二次项系数不等于零时方程才有判别式. 　　例9　已知m.n是关于_的方程_2－2_＋t＝0的两个实数根.ｍ３＋n３有没有最大或最小值?如有请求出最值;如没有,请说明理由. 解　∵Δ＝(－2)2－41t≥0,∴t≤1, 　　由韦达定理,m＋n＝2,mn＝t 　　m3＋n3＝(m＋n)［(m＋n)2－3mn］ 　　＝2(22－3t) 　　＝8－6t 　　≥8－6_1＝2. 　　∴m3＋n3的最小值为2,无最大值. 评析　题中〝两个实数根〞是通常所说的隐含条件,它实际上暗示我们不要遗漏判别式大于或等于零的条件,在审题时一定要引起注意. 例10 解不等式:(1)≤0;(2) ≤1; 　　　　　　　　(3) ＞－1. 解 (1)∵_2－2_＋2＝(_－1)2＋1＞0, 　　　 ∴原不等式与不等式_2－6_＋5≤0同解. 　　　 ∴原不等式的解为1≤_≤5. 　　(2) －1≤0,≤0. 　　　 ∵_2－2_＋2＞０,∴－４_＋3≤0. 　　　 ∴原不等式的解为_≥. 　　(3)由＞０,得　＞0. 　　　　∵_2－2_＋2＞0,∴_2－2_－2＞0. 　　　　∴原不等式的解为_＜1－或_＞1＋. 评析　上面(2).(3)。