2022年数学分析期中考试答案.pdf
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学习必备欢迎下载第 1 页 共 6 页班级（学生填写）：姓名：学号：命题：王守中审题：审批：-密-封-线-（答题不能超出密封装订线）数学分析 ( 二) 期中考试试卷使用班级（教师填写） ：信息 09-1 题号一二三四五六七八九总分得分阅卷人一选择题（每小题 2 分，共 20分） ：1.点0 x是函数)(xf的驻点，则一定有（C ）（A）0 x是极值点；（B）0 x是不可导的点；（C）0)(0 xf；（D）0)(0 xf2.设函数)(xf在0 x处有0)(0 xf，0)(0 xf，则在0 x处函数（B ）（A）取得极大值；（B）取得极小值；（C）不取得极值；（D）不能确定3.2362(0 1)yxx曲线在区间，的特性是（B ）（A）单调递增，凹（B）单调递增，凸（C）单调递减，凹（D）单调递减，凸4函数 sin4x 的一个原函数是（C ）（ A）cos4x（B）41cos4x （C）-41cos4x （D ）41sin4x 5下列各式中成立的是（ D ）（ A）( )( )fx dxf x（B）( )( )df xfxC（ C）( )( )df x dxfx（ D ）( )( )df x dxf xdx6设xe是( )f x的一个原函数，则dxxxf)(=（B ）（ A）e-x（1-x ）+C （B）e-x（x+1）+C （C）e-x（x-1 ）+C （D） -e-x（x+1）7.0( )(2coscos3 )3xf xtt dtx函数在处必（）C ( )()()()ABCD 不为极植取极小值 取极大值是单调的精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载第 2 页 共 6 页8.已知)(xF=f(x), 则xadttaf)(=( A ) A) F(0)-F(a-x) B) F(a-x)- F(0) C) F(x-a)- F(0) D) F(0)- F(x-a) 9. 下列积分中不等于零的是( A ) A) 224cos4dB) xdxx sin4C) 55242312sindxxxxxD)11cosxdxx10.下列积分发散的有( A ) A) dxxx1lnB) dxx0211C) 301dxxD)1xe dx二. 填空题 ( 每小题 2 分，共 16 分)1. 设3)(0 xdttfx,f(x)=_ 31_. 2. 1 0_px若瑕积分发散，则必有1p3.都是常数和，其中badxxdxdba_)1sin(20 4._22dxxaaa定积分22a5._2sin03dtt436.函数xxy1的极值点是xe17.32(13),( , )yaxbxa b设曲线以点，为拐点则数组3 9()2 2，8. 极限xxx1lnlim1 -1 三. 计算题 ( 每小题 5 分，共 25 分)1)1(21222xxx精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载第 3 页 共 6 页解：)1 (21222xxx dx =dxxdxxdxxxxx222222111)1 ()1(-x1+arctgx+C; 2. xxee12dx 解：xxee12dx= 2(1)(1)1xxxxeeedxe1(1)(1)1xxxdxdeedxe=ex-ln(1+ex)+C; 3. 121()xxdx解:原式4201x dx43301x434.求21ln1exxdx解:令 1ln xt原式dtt13213t231()5.求032dxexx解:2xt令012tte dt原式120limbtbtedt120lim ()bttbtee12四. 求下列极限 (每小题 5 分，共 10 分) 1. xxxxln11lim1xxxxxxln)1(1lnlim1xxxx11ln11lnlim11lnlnlim1xxxxxx11ln1lnlim1xxx21精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载第 4 页 共 6 页2.200arctanlimxdttxx解: 利用洛必达法则,0200arctanarctanlimlim2xxxtdtxxx=21五.( 6分 )设 F(x) 为 f(x)的一个原函数， 当 x0时有 f(x)F(x)=sin2x， 且 F(0)=1 ， F(x)0，求 f(x) 。
解：因为xdxdxxFxf2sin)()(得dxxdxxFxF22cos1)()(即CxxxF2sin4121)(212由于 F（ 0）=1 得 C=1 因此 F2（x）=x-x2sin21+1 而 F（x）0所以 F（x）=12sin21xx f(x)=F1(x)=12sin2122cos1xxx. 六.(6 分)求曲线21xxy的拐点及凹凸区间解：函数21xxy的定义域为),(222)1(1xxy322)1()3(2xxxy解方程0y得3,3,0321xxx此三点将),(分成四个部分，逐一判断每一部分区间的二阶导符号，可得出结论：在3,0(3,(和上曲线是 （下）凹的；在),30,3和上曲线是 （下）凸的；精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载第 5 页 共 6 页拐点有三个)43,3(,)43,3(,)0,0(七应用题（每小题6 分，共 12 分）1. 欲做一个容积为300 立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的两倍问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低？解：设y 为 总 造 价 ， 底 半 径 为x， 池 高 为h， 若 池 周 围 的 单 位 造 价 是k ， 则 目 标 函 数22230030022xhhxxkxhky，由于于是),0(,26 0 02xkxxkykxxky46002令3150,0 xy得由于造价的最小值一定存在，在),0(内又只有唯一的驻点3150 x，所以函数的最小值在驻点处取得。
这时321502300 xh将水池设计成底半径为3150米，高为底半径的两倍时可使总造价最低2求曲线22xy和直线22xy所围成的平面图形的面积解：先画出22xy和22xy所围成的平面图形，见图下图再求出交点A，B 的坐标，即A(- 2, - 2)，B(0, 2)面积为：022d)22()2(xxx=022d)2(xxx=0223)31(xx=342 o x y A B 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载第 6 页 共 6 页九. 证明题 ( 任选一题，共 5 分)1.证明：xxtdtduufdttxtf000)()(证明 : dtttfdttfxdttxtfxxx000)()()(xxdttfdttxtf00)()(dttfdtduufxxt000)()(则:xxtdtduufdttxtf000)()(+C 令 x=0, 则:C=0 于是 :xxtdtduufdttxtf000)()(2. 证明：当x0 时，xx1211证明：令xxxf1211)(，则xxf12121)()(xf在), 0上连续，在),0(内0)(xf，因此在),0上)(xf单调增加，从而当0 x时，)0()(fxf，由于0)0(f，故0)0()(fxf，即01211xx亦即xx1211。
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