1.3.1二项式定理63097
3页1、学校:临清二中 学科:数学 编写人: 王梦炬 审稿人:马英济1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法,识记二项展开式的有关特征,能对二项式定理进行简单应用;2.通过对二项式定理内容的研究,体验特殊到一般的发现规律,一般到特殊指导实践的认识事物过程。【教学重难点】教学重点:二项式定理的内容及归纳过程 ;教学难点:在二项式展开的过程中,发现各项及各项系数的规律。【教学过程】一、设置情景,引入课题引入:二项式定理研究的是(a+b)n的展开式。如(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=?,(a+b)4=?,那么(a+b)n的展开式是什么呢?二、引导探究,发现规律1、多项式乘法的再认识问题1:(a1+ b1)(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的?展开式有几项? 2、(a+b)3展开式的再认识 问题2:将上式中,若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么?合作探究1:合并同类项后,为什么a2b的系数是3?教师引导:可以发现a2b是从(a+b)(a+b)(a+b)这三个括号中的任意两个中选a,剩下的一个括号中选b;利用组
2、合知识可以得到a2b应该出现了C C=3次,所以a2b的系数是3。问题3:(a+b)4的展开式又是什么呢?可以对(a+b)4按a或按b进行分类:(1)四个括号中全都取a,得:C a4(2)四个括号中有3个取a,剩下的1个取b,得:C a3 Cb(3)四个括号中有2个取a,剩下的2个取b,得:C a2 Cb2(4)四个括号中有1个取a,剩下的3个取b,得:C a Cb3(5)四个括号中全都取b,得:Cb4小结:对于展开式,只要按一个字母分类就可以了,可以按a分类,也可以按b分类,再如:(1)不取b:C a4;(2)取1个b:C a3b;(3)取2个b:C a2b2;(4)取3个b:C ab3;(5)取4个b:Cb4,然后将上面各式相加得到展开式。结论:(a+b)4= C a4+ Ca3b+ C a2b2+ C ab3+ Cb4三、形成定理,说理证明问题4:(a+b)n的展开式又是什么呢?合作探究2:(1) 将(a+b)n展开有多少项?(2)每一项中,字母a,b的指数有什么特点?(3)字母“a”、“b”指数的含义是什么?是怎么得到的?(4)如何确定“a”、“b”的系数?猜想:证明:对(a+
3、b)n分类,按b可以分n+1类,(1)不取b:C an;(2)取1个b:C an-1b;(3)取2个b:C an-2b2;(k+1)取k个b:C an-kbk;(n+1)取n个b:C bn;然后将这n+1个式子加起来,就得到二项展开式,(a+b)n=an+an-1b+an-kbk+bn(nN+)这就是二项式定理。四、熟悉定理,简单应用二项式定理的公式特征(由学生归纳,让学生熟悉公式)(1)项数:共有n+1项;(2)次数:字母a按降幂排列,次数由n递减到0;字母b按升幂排列,次数由0递增到n;(3)二项式系数:下标为n,上标由0递增至n;(4)通项:Tk+1= C an-kbk;指的是第k+1项,该项的二项式系数为C;(5)公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式。例1 求的展开式分析:为了方便,可以先化简后展开。例2 的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。求的展开式中含的系数。五、当堂检测1.写出(p+q)7的展开式;2.求(2a+3b)6的展开式的第3项;3.写出的展开式的第r+1项;4.(x-1)10的展开式的第6项的系数是( )(A) (B) (C) (D) 答案:1.(p+q)7=p7+7p6q+21p5q2+35p4q3+35p3q4+21p2q5+7pq6+q7.六、课堂小结1. 公式: 2. 思想方法:(1)从特殊到一般的思维方式. (2)用计数原理分析二项式的展开过程.七、布置作业课本43页习题1.3 A组 2、3
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