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广东省汕尾市陆丰市民声学校八年级数学上册 14.3.1 提公因式法课件 新人教版

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    • 1、14.3.1提取公因式法,人教版八年级数学上册 14.3 因式分解,学习目标,1.理解因式分解的概念,弄清因式分解与整式乘法的关系。,2.知道什么是公因式,怎样找多项式中各项的公因式。,3.能用提公因式法把一个多项式进行因式分解。,复习与回顾,整式的乘法,计算下列各式: x(x+1)= (x+1)(x1)=,x2 + x,x21,a(b + c)=,(a + b) (ab)=,(x+y)2 =,ab + ac,a2 b2,x2+2xy+y2,请把下列多项式写成整式的乘积的形式: (1) x2+x=_; (2)x2 1= _.,x(x+1),(x+1)(x-1),上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.,探究,(3) ab + ac (4) 5x22x2 (5) a2 b2,=a(b + c),=(a + b) (ab),=(52)x2,想一想,比一比,因式分解与整式乘法有何关系? (1)x2+x x(x+1) (2) x21 (x+1)(x-1) (3) ma+mb+mc m(a+b+c),因式分解,整式乘法,

      2、整式乘法,因式分解,因式分解,整式乘法,因式分解与整式乘法是互逆过程,练习一 理解因式分解,判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1) x24y2=(x+2y)(x2y); (2) 2x(x3y)=2x26xy (3) (5a1)2=25a210a+1 ; (4) x2+4x+4=(x+2)2 ; (5) (a3)(a+3)=a29 (6) m24=(m+2)(m2) ; (7) 2R+ 2r= 2(R+r).,因式分解,整式乘法,整式乘法,因式分解,整式乘法,因式分解,因式分解,辨一辨:,辨别下列运算是不是因式分解,并说明理由.,不是,不是,是,是,判断是否是因式分解 要看等式的左边是否是一 个多项式,右边是否是几 个整式的积的形式。,如何对多项式因式分解如:,把公因式提出来,多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这种因式分解的方法,叫做提取公因式法。,探索发现,解:,公因式,多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式,提公因式法,探究新知,b,8a3b212ab3c 的公因式是什么?,最大公约数,相同字母,公因式:,4,a,2,一看系数

      3、二看字母 三看指数,观察方向:,找公因式有 什么方法呢?,最低指数,1,4 a b2,探究新知,多项式 x2+2x3,3m2n2-6mn2,12a2b3- 8a3b2-16ab4,各项的公因式分别是什么?,系数:找各项系数的最大公约数。,字母:找各项的相同字母。,指数:找各项相同字母的最低次幂的指数。,如何确定公因式?,x2,4ab2,3mn2,探究新知,(1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) (5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2,找一找: 下列各多项式的公因式是什么?,(3),(a),(a2),(2(m+n)),(3mn),(-2xy),一看系数 二看字母 三看指数,最大公约数,相同字母,最低指数,深入理解,比一比,看谁最先找出下列各多项式的公因式 (1)3x-6y+9a (2)ax+ay+a (3) 4x2+10xy (4) 3n3y+6n2y2 (5) (a+b)2y+(a+b)y2,学以致用,a,3n2y,2x,(a+b)y,3,一看系数,二看字母,三看指数,你是怎样找各项的公因式

      4、的,把你的方法在4人小组内交流一下,最大公约数,字母相同,指数最小,深入理解,注意:各项系数都是整数时,因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.,说出下列多项式各项的公因式: (1)ma + mb ; (2)4kx 8ky ; (3)5y3+20y2 ; (4)a2b2ab2+ab .,m,4k,5y2,ab,理解公因式,深入理解,正确找出多项式各项公因式的关键是:,1.定系数:公因式的系数是多项式各项系数 的最大公约数. 2.定字母: 字母取多项式各项中都含有的相 同的字母. 3.定指数: 相同字母的指数取各项中最小的 一个,即字母最低次幂.,请说出下列多项式的公因式:,(1) ma + mb (2) 4kx - 8ky (3) 5y3+20y2,(4) a2b-2ab2+ab (5) 4x2-8ax+2x (6) 3(a+b)2-6(a+b)3,m,4k,5y2,ab,2x,3(a+b)2,深入理解,请将下列多项式分解因式:,(1) ma + mb (2) 4kx - 8ky (3) 5y3+20y2,(4) a2b-2ab2+ab

      5、 (5) 4x2-8ax+2x (6) 3(a+b)2-6(a+b)3,m,4k,5y2,ab,2x,3(a+b)2,m(a+b),4k(x-2y),5y2(y+4),ab(a-2b+1),2x(2x-4a+1),3(a+b)2(1-2a-2b),深入理解,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。,提公因式法:,归纳总结,因为 多项式8a3b2+12ab3c的公因式是4ab2,另一个因式2a2+3bc是如何得到的?,提公因式法,例1:分解因式 8a3b2+12ab3c,提公因式法的一般步骤:,1、确定应提取的公因式;,2、用公因式去除这个多项式,所得的商作为另一个因式;,3、把多项式写成两个因式的积的形式。,所以 8a3b2+12ab3c4ab2(2a2+3bc),例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.,解:8a3b2+12ab3c =4ab22a2+4ab23bc =4ab2(2a2+3bc).,例题精讲,小结: 公因式的取法: 公因式的系数取各项系数的最大公约数;字母取各项都含有的字母

      6、;字母次数取相同字母次数最低的。 因式分解要求: ()分解彻底 ()结果化为最简 ()结果不含中括号 ()结果括号中第一项系数不为负数,归纳总结,例2. 把 -24x3 12x2 +28x 分解因式.,当多项式第一项系数是负数,通常先提出“-”号,使括号内第一项系数变为正数,注意括号内各项都要变号。,解:原式=,=,提负号 要变号,(24x34x+12x24x-28x4x),(6x2+3x-7),例题精讲,用提公因式法分解因式: (2) -2x3+6x2-2x (3) 3an+2+2an+1-7an,友情提示:,(1)如果多项式的某一项正好是公因式,要注意该项在提取了公因式后,应该用“1”顶替它原来的位置,切不可把“1”漏掉。,(2)如果多项式的第一项有“”号,一般都将“”号随公因式一起提出。,例题精讲,【解析】a(x3)+2b(x3) =(x3)(a+2b).,【例3】把a(x3)+2b(x3)分解因式.,分析:这个多项式整体而言可分为两大项,即a(x3)与2b(x3),每项中都含有(x3),因此可以把(x3)作为公因式提出来.,例题精讲,例4 把 2a(b+c) -3(b+c)分解

      7、因式.,分析: 这个式子的公因式是( b+c),可以直接提出.,解:2a(b+c) 3(b+c) =(b+c)(2a-3).,例题精讲,注意:首项为负,应提出负号。,把-4m3+16m2-26m分解因式;,小明解的有误吗?,错误,注意:公因式要提尽。,诊断,正确解:原式=6xy(2x+3y),小亮解的有误吗?,当多项式的某一项和公因式相同时,提公因式后剩余的项是1。,错误,注意:某项提出莫漏1。,正确解:原式=3x.x-6y.x+1.x =x(3x-6y+1),小华解的有误吗?,提出负号时括号里的项没变号,错误,诊断,注意:首项有负常提负。,正确解:原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z),把下列各式分解因式: 1.a(xy)+b(yx);,分析:虽然a(xy)与b(yx)看上去没有公因式,但仔细观察可以看出(xy)与(yx)互为相反数,如果把其中一个提取一个“”号,则可以出现公因式,如:yx=(xy),【解析】a(xy)+b(yx) =a(xy)b(xy) =(xy)(ab).,【跟踪训练】,【解析】6(mn)312(nm)2 =6(mn)312(mn)2 =6(mn

      8、)312(mn)2 =6(mn)2(mn2).,2. 6(mn)312(nm)2,【跟踪训练】,3、把下列多项式因式分解: (1) 4ab-2a2b; (2) -3ab+6abx-9aby (3) - 24m2x+16n2x; (4) anb2-2anb.,2ab(2-a),-3ab(1-2x+3y),-8x(3m2-2n2),anb(b-2),【跟踪训练】,4、用简便方法计算:,5、想一想,(1)已知x+y=2,xy=-3,则x2y+xy2=_. (2)(-2)2005+(-2)2006=_.,-6,22005,【跟踪训练】,6.试说明:817279913能被45整除.,解:原式(34)7 (33)9 (32)13 =328327326 =326(3231) =3265 =32445 817279913能被45整除.,【跟踪训练】,1.填空 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“”号,使等式成立: (1)2a=_(a2); (2)yx=_(xy); (3)b+a=_(a+b); (4)(ba)2=_(ab)2; (5)mn=_(m+n); (6)s2+t2=_(s2t2).,-,

      9、-,+,+,-,-,1.(苏州中考)分解因式 a2a= 【解析】 a2a=a(a-1). 答案:a(a-1),2.(盐城中考)因式分解,【解析】用提公因式法因式分解:,答案:2a(a-2),直击中考,把下列各式分解因式: 12a4b; 2ax2+ax4a; 33ab23a2b; 42x3+2x26x; 57x2+7x+14; 612a2b+24ab2; 7xyx2y2x3y3; 827x3+9x2y,练习巩固,巩固与提高 1.把下列各式分解因式: 8m2n+2mn; (2)12xyz-9x2y2; (3)2a(y-z)-3b(z-y); (4)p(a2+b2)-q(a2+b2).,2.先分解因式,再求值: 4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.,3.计算534+2433+6332.,4.把(a+bc)(ab+c)+(ba+c)(bac)分解因式.,1.因式分解:,2. 确定公因式的方法: 一看系数 二看字母 三看指数,3.提公因式法分解因式步骤(分两步): 第一步,找出公因式; 第二步,提公因式.,4.用提公因式法分解因式应注意的问题:,(1)公因式要提尽.,(2)首项有负常提负,提出负号后括号里的各项都要变号.,(3)当多项式的某一项和公因式相同时,提公因式后剩余的项是1而不是零.,知识总结,课堂小结,x2-1,因式分解,整式乘法,(x+1)(x-1),因式分解与整式乘法是相反方向的变形.,1.因式分解与整式乘法的关系:,在ma+mb+mc中,各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫

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