《理论力学三》ppt课件
107页1、理论力学(三),刚体力学,非线性系统 2011.11,刚体的概念和性质,刚体是一种质点系,其中所有质点的相对位置一直保持不变。 刚体不发生任何形变。固体的物体受力时,如果形变较小,可以近似地视为刚体。 刚体有形状,有大小,有质量分布。我们研究宏观世界的物体运动时,如果物体的大小不能忽略,用质点模型就不够全面,这时可以使用刚体模型。,刚体的自由度,在三维空间中运动的刚体,其自由度为6。 平动自由度3。决定了刚体上的一点的位置。 转动自由度3。其中,2个自由度决定刚体上的某根轴线的方向,剩下的1个自由度决定刚体绕此轴旋转的角度。 决定刚体上的一点的坐标需要3个自由度。决定刚体上的另一点又需要2个自由度(3个自由度,减去这两点之间的距离固定的约束条件)。决定第三个点还需要1个自由度(3个自由度,减去它与前这两点之间的距离固定的2个约束条件)。再增加点自由度不增。一共还是6个自由度。,刚体的本体坐标,本体坐标系是固定在刚体上的坐标系。它是随刚体一起运动的。刚体上的任意一点在本体坐标系中的坐标值恒定不变。 空间坐标是我们所在的实验室惯性系的坐标(可视为“静止”坐标)。 要表示一个刚体的状态,首先
2、要用三个空间坐标表示本体坐标系的原点位置,此外还要能表征本体坐标的坐标轴方向。,刚体的运动方式,平动。刚体上任何一点都有相同的速度(和加速度)。本体坐标方向保持不变。可以用刚体上的一点的运动表征整个刚体的运动。自由度为3(3个平动自由度)。 定轴转动。刚体围绕一个固定的轴作转动。自由度为1。 平面运动。刚体每个质点的运动都限制在一个平面内,限制不同质点的平面彼此平行。自由度为3(2个平动自由度,1个转动自由度)。 定点转动。刚体转动时,其上某一点固定。(3个转动自由度) 一般运动。自由度为6(3个平动,3个转动),欧拉定理,定理:具有一个固定点的刚体的任意位移等效于绕该定点的某一轴线的转动。 如果能寻找到轴线和旋转的角度,使原始位置的刚体经过一次旋转就能到达指定位置,则欧拉定理即获得证明。 实际上,由于原点不动,只需要本体坐标的x轴单位向量和y轴单位向量到达目标位,刚体整个就到达目标位。,欧拉定理的证明,确定旋转轴是xx的垂直平分面与yy的垂直平分面的交线。轴上任意一点到x和x等距,同时到y和y也等距。 图中黑的球面三角与红的球面三角全等。因此当x转到x时,y也同时转到y。因此,刚体通
3、过一次旋转,到达了指定位置。这样,描述原点固定的刚体的状态就等价于描述一次转动。,第24次课,设e为转轴的方向向量。刚体上的任意一点的位置 r 在三个方向上分解: 平行方向: 垂直方向: 速度切向: 在绕 e 轴旋转一定角度q之后,新位置为:,转动后刚体上某一点的新位置,也可以用4元数来表示转动。 4元数是具有实部及3个虚数单位(i, j, k) 虚部的4元复数,表示为: 其中虚数自身的乘积都是-1,可代表三维空间的三个相互垂直的方向。不同虚数相互的乘积(这里用 * 表示)满足矢量叉乘的规则:,转动的4元数描述,4元数可以进行加减乘运算。由于矢量叉乘规则,因此4元数的乘法也同样不满足交换律。但结合律和分配律都是满足的,可进行一般的代数运算。将4元数q写为纯数n和矢量v两部分,运算结果为:,四元数的运算规则,转动可以用一个归一化的4元数来表示。 对比可知得到的是角度为2q的旋转。,四元数表示旋转,两次旋转连续进行可以复合为一次 连续多次的旋转最后都能用一次旋转替代,这与欧拉定理是一致的。 4元数用了4个分量表示一次旋转,而旋转的自由度为3,用矢量部分就能表示。冗余的1个量对应于加入了模为
4、1的归一化条件的约束条件。 用4元数表示旋转的方法广泛应用于计算机的3维绘图等方面。,旋转的复合,以z轴为转轴,进行一次转动,转动q之后刚体上任意一点的空间坐标变为 变换矩阵为 同样我们可以获得绕x轴或绕y轴旋转的变换矩阵。,刚体旋转的矩阵表示,旋转时坐标的矩阵变换,用e表示任意矢量e的空间坐标排成的列。 本体坐标系从原始位置转动到当前位置,其3个轴的单位基矢量为ex,ey,ez。把3个单位基矢量的空间坐标排为3列,构成矩阵3x3的矩阵R = ex ey ez 。则矩阵R是旋转的变换矩阵。此矩阵的各列是归一的且彼此正交(单位基矢量性质)。 因 RTR=I,故|R|不为0,有逆矩阵存在,右乘R-1得RT=R-1。此矩阵的逆矩阵是自身的转置。 刚体上本体坐标为(x,y,z)的任意一点当前空间位置为 r = xex + yey + zez = Rr 这给出旋转前后刚体上任一点(在原坐标系中的)坐标的变换。,欧拉定理的矩阵证明,由于R是单位基矢量为ex,ey,ez的空间坐标排为3列构成,因此(基矢量下标加0是指旋转前的坐标): ex0,ey0,ez0 R = ex,ey,ez 这给出了旋转前后
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