高中数学 3_2_5 距离（选学）学案 新人教b版选修2-1

1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线3.2.5距离(选学)1理解点到平面的距离的概念(重点)2能灵活运用向量方法求各种空间距离(难点、重点)3体会向量法在求空间距离中的作用基础初探教材整理距离阅读教材P112P113“例2”，完成下列问题1图形与图形的距离一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离2点到平面的距离一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离3直线与它的平行平面的距离一条直线上的任一点，到与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离4两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线(2)公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段(3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离5四种距离的关系如图3235，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是_图3235【解析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线建立空间直角坐

2、标系，则A(1,0,0)，O，A1(1,0,1)，则，(1,0,1)由题意知为平面ABC1D1的一个法向量，所以O到平面ABC1D1的距离d|cos，|.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型两点间的距离如图3236，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点，求MN的长图3236【精彩点拨】利用|求解【自主解答】设p，q，r.由题意|p|q|r|a，且p，q，r三向量两两夹角均为60.()(qrp)|2(qrp)(qrp)q2r2p22(qrqprp)2a2.|a，即MN的长为a.计算两点间的距离的基本方法：(1)把线段用向量表示，然后利用|a|2aa，通过向量运算求|a|.(2)求解的图形适合建立空间直角坐标系时，可用坐标法求向量的长度(或两点间距离)再练一题1已知平行六面体ABCDABCD，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.求AC的长图3237【解】因为，所以|2()()|2|2|22()4232522(0107.5)85.因

3、此|.点到平面的距离如图3238，已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AD，AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2，求点B到平面EFG的距离图3238【精彩点拨】建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解【自主解答】以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间坐标系，则G(0,0,2)，B(0,4,0)，A(4,4,0)，D(4,0,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)(4,2，2)，(2,4，2)，(0，4,2)设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，则有n0，n02xyz0，x2yz0，取x1，则y1，z3，得n(1,1,3)，n的一个单位向量n0.则点B到平面EFG的距离为|cos ，n|n0|，即点B到平面EFG的距离为.用向量法求点面距的方法与步骤再练一题2如图3239，已知四棱锥SABCD，SA底面ABCD，DABABC90，AB4，BC3，AS4，E是AB的中点，F在BC上，且BFFC，求点A到平面SEF的距离图3239【解】以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在的直线为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系Oxyz，如图所示，则A(0,0,0)，E(

4、0,2,0)，F(1,4,0)，S(0,0,4)，(0,0,4)，(0,2，4)，(1,4，4)设平面SEF的法向量n(x，y，z)，则n0，且n0，即(0,2，4)(x，y，z)2y4z0，且(1,4，4)(x，y，z)x4y4z0.在上面的两个方程中，令zk，则可解得x4k，y2k，zk.所以n(4k,2k，k)，n的单位向量n0.因此，点A到平面SEF的距离d|n0|.探究共研型直线与平面、平面与平面的距离探究1已知平面的一个法向量n(2，2,1)，点A(1,3,0)在内，求P(2,1,4)到的距离【提示】d.探究2四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，AB4，ABC60，侧棱PA底面AC，且PA4，E是PA的中点，求PC与平面BED间的距离并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系【提示】以A为原点，AB为x轴，ACD中CD边上的高AF为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则F为CD的中点，于是A(0,0,0)，B(4,0,0)，F(0,2，0)，C(2,2，0)，D(2,2，0)，P(0,0,4)，E(0,0,2)设平面BED的法向量n(x，y，z)，由(4,0,2)，(

5、2，2，2)，得即得取z2，得n(1，2)(2,2，4)，n2680，故PC平面BED，PC到平面BED的距离就是P到平面BED的距离(0,0,2)，d.直线PC上各点到平面BED的距离都相等棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，DGDD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求A1D1到平面EFGH的距离【精彩点拨】把A1D1到平面EFGH的距离转化为直线A1D1上某一点(如点D1)到平面EFGH的距离，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【自主解答】以D点为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则E，F，G，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，(1,0,0)，(1,0,0)，.又EF平面EFGH，D1A1平面EFGH，D1A1平面EFGH.A1D1到平面EFGH的距离，即D1到平面EFGH的距离设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则n0，且n0，即令z6，可得n(0，1,6)，n0.又，d|n0|，因此，A1D1到平面EFGH的距离为.1求直线与平面的距离以及平面与平面之间的距离，往往转化为点到平面的

6、距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则2求解点到平面的距离常用的方法：(1)空间向量法；(2)垂线段法；(3)等体积法再练一题3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离图3240【解】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)从而(2,2,0)，(2,2,0)，(2,0,4)，(2，0,4)，EFMN，AMBF，EFBFF，MNAMM.平面AMN平面EFBD.设n(x，y，z)是平面AMN的法向量，从而解得取z1，得n(2，2,1)，由于(0,4,0)，所以在n上的投影为.两平行平面间的距离d.构建体系1若O为坐标原点，(1,1，2)，(3,2,8)，(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为() 【导学号：15460081】A.B2C. D【解析】()(4,3,6)，而(0,1,0)，|.【答案】D2已知ABC的顶点A(1，1,2)，B(5，6,

7、2)，C(1,3，1)，则AC边长的高BD的长等于()A3B4C5D6【解析】(4，5,0)，(0,4，3)，则在上的投影d4，而|，AC边上的高BD5.【答案】C3点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB3，BC4，PA2.则P到平面BQD的距离为_图3241【解析】如图，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，Q(0,0,1)，(3,0，1)，(3,4,0)，(0,0,1)，设平面BQD的法向量n(x，y，z)，由得令x4，则z12，y3，n(4,3,12)P到平面BQD的距离d.【答案】4已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于_【解析】，|2|2|2|2，|22.在RtBDC中，BC.平面ABC平面BCD，过D作DHBC于H，则DH平面ABC，DH的长即为D到平面ABC的距离，DH.【答案】5在三棱锥BACD中，平面ABD平面ACD，若棱长ACCDADAB1，且BAD30，求点D到平面ABC的距离【解】如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴，y轴，过O作OM平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，则A，B，C，D，设n(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，则yx，zx，可取n(，1,3)，代入d，得d，

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