高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计四

1、 二项式定理（一）二项式定理（一） 教学设计教学设计一、教学内容解析一、教学内容解析1.3.1 二项式定理是普通高中课程标准实验教科书-数学选修 2-3 第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特

2、殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。二项式定理的证明是一个教学难点这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。二、学情分析二、学情分析学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。三、教学目标设置三、教学目标设置1.1.知识技能目标知识技能目标（1）理解二项式定理是代数乘法公

3、式的推广。（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。（3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项。2.2.过程与方法目标过程与方法目标通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳猜想论证的思想方法,发展探究能力。3.3.情感、态度、价值观目标情感、态度、价值观目标培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨。四、教学重点、难点四、教学重点、难点重点：重点：用两个计数原理分析的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式3)(ba 的通项公式；能应用它解决一些简单问题。难点：难点：用两个计数原理分析推导的展开式；用两个计数原理证明二项式3)(ba 定理。五、五、教学过程教学过程教学程序问 题设计意图师生活动引出问题：如果今天是星期五，14 天后的 这一天是星期几呢？23 天后的这一天呢？ 师生归纳：比如 23=73+2，所以 23 天后 是星期日。 算法：用各个数除以 7，看余数是多少， 再用五加余数来推算 师：再过 82016天后是星

4、期几，你知道吗？ 不方便求出 82016除以的余数，可以利用 8=7+1，得到 82016=(7+1)2016=? 如果不用计算器的话,此时就需要研究*()?()nabnN提出问题激发学生探索欲望，并引出课题让学生用计算器计算从特殊开始由(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2;(a+b)3=(a+b)2(a+b)=?结果：33223()33abaa babb体会多项式乘法计算过程,加深对因式展开原理的理解。与学生一同计算，得到计算结果，为后面做铺垫。创设问题情境引入新课探究一：通过组合思想来分析(a+b)3的展开式 展开后)()()(3babababa项的形式为：3223,babbaa项的系数，考虑，b：每个都不取的情况有 1 种，即 ,3ab0 3C则前的系数为3a0 3C：恰有 1 个取的情况有种，则ba2b1 3C前的系数为ba21 3C：恰有 2 个取的情况有 种，则2abb2 3C前的系数为2b2 3C：恰有 3 个取的情况有 种，则前3bb3 3C3b的系数为所以3 3C33 322 321 330 33)(bCabCbaCaCba考察学

5、生对因式展开的各项形式及系数的理解。学生说出自己的思路，老师做分析与讲解为后面猜想做铺垫。探究二：观察展开式中的项数、指数变化以及系数变化，你发现了什么？由此猜想（a+b）4 ,(a+b)n的展开式中项数，指数变化及系数变化又如何呢？并试着写出他们的展开式。回答：404132223344 44444()abC aC a bC a bC abC b011()nnnrn rr nnnabC aC abC ab*()nn nC bnN让学生通过特例去观察相同之处与不同之处，以及不同之处的处理方法，从而提出猜想。学生先观察总结特点：1.项数是指数加 1；2.字母 a 按降幂排列，字母 b 按照升幂排列，二者指数之和是二项式指数；3、每一项的系数有上面的问题 2 给出，这很好的突破了本节的难点。探究三：对于猜想011222().nnnn nnna bC aC ab C ab我们如何进行证明呢？.rn rrnn nnC abC b证明：是 n 个相乘，每个nba)( )(ba在相乘时，有两种选择，选 a 或选)(bab，由分步计数原理可知展开式共有项n2（包括同类项） ，其中每一项都是rrnba的

6、形式，对于每一项，它), 1 , 0(nrrrnba是由 r 个选了 b，nr 个选了)(ba)(baa 得到的，它出现的次数相当于从 n 个中取 r 个 b 的组合数，将它们合)(bar nC并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理让学生体会利用组合思想从特殊到一般，对猜想给出严谨的证明过程。并理解如何用“说理”的方式阐述证明过程。师生讨论证明思路，通过阅读课本上的证明过程，老师最后做出方法归类，提示学生证明的思路。并留下课下演练二项式定理的数学归纳法证明。观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点，谁最具代表性？(1)项：二项展开式共有项；1n(2)次数：各项的次数都等于 n；字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0；字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n (3)二项式系数：), 2 , 1 , 0(nkCk n (4)二项展开式的通项：=1kTkknk nbaC考察学生的观察力，以及分析问题的能力。学生继续总结这三点，以强化已有的认识，同时老师强调：二项式系数，与二项展开式系数的区别。思考观察学习新课特殊的情况1.用-b 代替 b.写出的展开式（）nab2.令 a=

7、1,b=2x. 写出的展开式512x（）对二项式定理的简单应用，同时也是告诉学生二项式定理在解决问题时的方法：赋值或是赋表达式。学生自主完成，老师进行检查，通过投影仪将学生的结果进行展示，错误时做出点拨与分析。破解疑惑今天是星期五, 再过 82016天后是星期几，你知道吗？201620168(7 1)02016 20167C12015 20167C201520167C20162016C02015 20167(7C12014 20167C20152016)C1即 82016除以 7 余数是 1。 故再过 82016天后的那一天是星期六。 破解疑惑让学生感受计算的简单与快捷，增强对数学学习的热情，学生提出解决思路，老师点评分析，怎么才能被7 整除好计算呢?联想二项式定理的表达形式，问题得到解决，留为课下计算。精讲精析巩固新知再探索对于的展开式512x（）思考 1：展开式的第 2 项的系数是多少？思考 2：展开式的第 2 项的二项式系数是多少？思考 3：你能否直接求出展开式的第 2 项？ 熟悉二项式定理，以及对二项式系数，展开式系数，以及x 的系数问题教师板演过程，给学生以示范，为后面步骤的

8、整洁做铺垫。的理解与记忆。反馈练习课堂练习1、求的展开式的第三项6(2)xy2、求的展开式的第三项6(2 )yx熟悉二项式定理，二项式系数，二项展开式系数，以及通项的初步应用，理解二项式展开式的项的顺序。学生自主练习，反馈教学效果，老师巡视做个别辅导。课堂小结本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的呢？在学习这部分知识时要注意什么呢？让学生回顾本节要点，观察学生掌握情况。学生说，教师课件演示，并强调：二项式系数与二项展开式系数的区别。布置作业课本 37 页 习题 1.3 A 组 2、4课后探究：用数学归纳法证明二项式定理 让学生巩固本节课的所学内容和知识。六、板书设计六、板书设计1.3.1 二项式定理)()(*110NnbCbaCbaCaCbann nrrnr nn nn nn(1)项：二项展开式共有项；1n(2)次数：各项的次数都等于 n；字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到0；字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到n 例题 1例题 2练习 1 练习 2作业：课本 37 页 习题 1.3 A 组 2、4课后探究：用数学归纳法证明二项式定理(3)二项式系数：), 2 , 1 , 0

9、(nkCk n (4)二项展开式的通项：=1kTkknk nbaC（根据课堂教学活动的推荐，反复使用。） 关于关于1.3.11.3.1 二项式定理（一）点评分析二项式定理（一）点评分析1.3.1 二项式定理是普通高中课程标准实验教科书-数学选修 2-3 第一章第三部分第一节的内容，在普通高中课程标准实验教科书-数学选修 2-3 教师教学用书建议 3 课时，本节课为第一课时。执教者坚持“以人为本，以学定教”的教学理念，通过自已的精心设计和认真思考，把对教材的深刻认识，通过灵活的教学方法，将新课程的理念充分地体现在课堂中，实现了预期的教学目标，充分展示了知识的形成过程，引导学生体验了二项式定理的生成过程和应用过程，具有良好的教学效果。这节课主要有以下特点：1、 以问题为主线，以问题为主线， 充分激发学生的学习动力和兴趣充分激发学生的学习动力和兴趣本节课精心设计了数学问题，教学活动开始时，就提出了人们的生活安排往往成周期变化，提出了推算星期几的问题，从而引出对二项式定理的研究，最后通过所得结论解决提出的问题。一是以问题为载体，有机渗透德育，结合数学知识的特点对学生进行思想教育，这正是数学新课程理念所期待的目标 普通高中数学课程标准（实验） （以下简称标准 ）指出：“数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值” 。二是发挥问题的魅力，激发学生的学习兴趣与动力。众所周知，思维是从问题开始的，没有问题就没有思维，由此可见，课堂教学中问题的质量直接影响到教学效果，正因为如此， 标准强调数学教学应结合具体的数学内容采用“问题情景一建立模型一解释、应用与拓展”的模式展开，所以在数学教学中，要让学生通过问题的吸引，积极思考，发掘新知识的各个方面，最大限度地实现问题的教学价值。2、 注重教学中的引导，强化数学思想方法的渗

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