吉林省2020学年高二数学上学期期中试题理（含解析）

1、高二数学上学期期中试题 理（含解析）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教版选修2-1，选修2-2第三章.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：先化简复数z,再看复数z在复平面内对应的点所在的象限.详解：由题得，所以复数z在复平面内对应的点为（2,4），故答案为A.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点（a

2、,b）是一一对应的关系.2.焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（）A. y2=-4xB. y2=4xC. x2=-4yD. x2=4y【答案】B【解析】【分析】由题意设抛物线方程为y2=2px（p0），结合焦点坐标求得p，则答案可求【详解】由题意可设抛物线方程为y2=2px（p0），由焦点坐标为（1，0），得，即p=2抛物的标准方程是y2=4x故选B【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题3.关于命题，下列判断正确的是（ ）A. 命题“每个正方形都是矩形”是特称命题B. 命题“有一个素数不是奇数”是全称命题C. 命题“，”的否定为“，”D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”【答案】C【解析】【分析】根据特称命题，与全称命题的概念，可判断AB；根据全称命题的否定，可判断C，D.【详解】A选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称命题，故A错；B选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是特称命题，故B错；C选项，命题“，”

3、的否定为“，”，故C正确；D选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数不都是有理数”，故D错；故选：C【点睛】本题主要考查命题真假的判定，熟记全称命题与特称命题的概念，以及含有一个量词的命题的否定即可，属于基础题型.4.椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将椭圆方程化为标准形式，得到，再由离心率的定义，即可得出结果.【详解】因为椭圆方程：可化为，所以，因此离心率：.故选：C【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的简单性质即可，属于基础题型.5.“”是“直线与圆相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】直接利用圆心到直线的距离等于半径求得充要条件即可判断【详解】当直线与圆相切时，则，故选：C.【点睛】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查充分必要条件的判断，属于基础题型6.点是抛物线上一点，则到的焦点的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由抛物线方程得到准线方程，再由抛物线的定义，即可得出结果

4、.【详解】因为抛物线的准线方程为，点是抛物线上一点，由抛物线的定义可得：.故选：D【点睛】本题主要考查求抛物线上的点到到焦点的距离，熟记抛物线的定义即可，属于基础题型.7.当复数的实部与虚部的差最小时，（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】实部与虚部差为。利用二次函数性质求得最值，再利用复数除法运算即可【详解】复数z的实部与虚部的差为，当时，差值最小，此时，.故选：C【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，熟练求解二次函数最值是关键，是基础题8.双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过抛物线的顶点，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先依题意设出双曲线的方程，再由该双曲线过抛物线的顶点，即可求出结果.【详解】因为双曲线与双曲线有共同的渐近线，所以设双曲线的方程为：其中，又因的顶点为, 且经过抛物线的顶点,所以有,即，所以，故即为所求；故选B【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，待定系数法是最常用的一种做法，属于基础题型.9.在空间直角坐标系中，则与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到，求

5、出平面的一个法向量，设与平面所成角为，由，即可求出结果.【详解】由题意可得：，设是平面一个法向量，则，即，令，得.设与平面所成角为，则.故选：A【点睛】本题主要考查求直线与平面所成角的正弦值，熟记空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.10.已知，分别为椭圆：的左顶点、下顶点，过点且斜率为1的直线与的另一个公共点为，则（）A. B. C. 4D. 【答案】D【解析】【分析】通过题意，容易求出直线的方程，将直线和椭圆联立，求出交点，通过向量数量积的坐标运算即可求出【详解】易知，方程为，联立，得，解得，则的坐标为，则，.故选D【点睛】本题时椭圆和向量结合的问题，根据直线和椭圆的位置关系求出需要的向量的坐标，是基础题11.已知点是抛物线上的动点，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】由题意：表示A（3，1）和F（1，0）与在抛物线上的动点P的距离之和，利用抛物线的定义将到F的距离转到到准线的距离即可求解.【详解】由题意知：= 表示A（3，1）和F（1，0）与在抛物线上的动点P的距离之和，又F（1，0）为抛物线的焦点，所以抛物线上的动点P到F（1，0）的距离等

6、于到x=-1的距离，只需要过A作x=-1的垂线交抛物线于P，交准线于M，则AM=4即为所求.故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了两点之间的距离公式，属于基础题12.实轴长为的双曲线上恰有个不同的点满足，其中，分别是双曲线的左、右顶点.则的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到，设，根据，得，再与双曲线联立，消去，得到，根据双曲线上存在个不同的点满足，得到只需，求出，进而可求出离心率的范围.【详解】依题意可得，设，则由，得，整理得.由，得，因为双曲线上恰有个不同的点满足，所以方程有两不等实根，所以只需，解得，则.故选：A【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率的范围，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数为纯虚数，则_.【答案】5i .【解析】【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算即可得出【详解】为纯虚数，.故答案为：5i【点睛】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算，属于基础题14.椭圆的焦距的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆方程，得到焦距，进而可求出结果.

7、【详解】由题意可得：，焦距.故答案为：【点睛】本题主要考查求椭圆焦距的最值问题，熟记椭圆的简单性质即可，属于常考题型.15.设为曲线上一点，若，则_【答案】4【解析】【分析】化简曲线方程，得到双曲线的一支，结合双曲线定义求出结果【详解】由，得，即，故为双曲线右支上一点，且分别为该双曲线的左、右焦点，则，.【点睛】本题考查了双曲线的定义，解题时要先化简曲线方程，然后再结合双曲线定义求出结果，较为基础16.九章算术第五卷中涉及到一种几何体羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，平面平面，梯形，的高分别为，且，则_.【答案】【解析】【分析】过分别作，的高，垂足分别为，根据题意，得到，两两垂直；以为坐标原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，再由向量数量积的坐标表示，即可得出结果.【详解】如图.过分别作，的高，垂足分别为，因为平面平面，平面平面，所以平面；因此，又，因此，两两垂直；以为坐标原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则由题意可得：，所以，则.故答案为：【点睛】本题主要考查求空间向量的数量积，熟记空间

8、向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数z满足，z的实部、虚部均为整数，且z在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z；（2）若，求实数m，n的值.【答案】(1) 或. (2) ，.【解析】【分析】（1）利用已知条件，设出复数z，通过及所对点所在位置求出即可复数z；（2）利用（1），结合复数乘法运算求解m，n的值详解】（1）设，则，因为z在复平面内对应的点位于第四象限，所以，所以或，所以或.（2）由（1）知或，当时，；当时.因为，所以，解得，.【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题18.如图，在正四棱柱中，为棱的中点，.（1）若，求；（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系写出，的坐标，并求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1) ； (2) .【解析】【分析】（1）根据题意，由空间向量基本定理，得到，再由题中条件，即可求出结果；（2）根据题中条件，得到向量与的坐标，再由向量的夹角公式，即可得出结果.【详解】（1）因为在正四棱柱中，为棱的中点，所以， 又，所以，；. （2）由题意，以及题中坐标系可得：， 则， 从而， 故异面直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题主要考查根据基底表示向量求参数，以及求异面直线所成角的余弦值，熟记空间向量的基本定理，以及空间向量的方法求异面直线所成的角即可，属于常考题型.19.已知表示不大于的最大整数，如.现给出下列两个命题：命題：若，则.命题：若，则.（1）写出命题的逆否命题；（2）判断命题，的真假，并说明理由.【答案】（1）命题的逆否命题为若或，则（2）为假命题，为真命题，理由见解析【解析】【分析】（1）根据逆否命题的书写规则书写即可（2）判断出的真假，从而可以判断，的真假【详解】解：（1）命题的逆否命题为若或，则.（2）若，则，则.故命题为真命题.若，则，则.故命题为假命题.从而为假命题，为假命题，为真命题.【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题

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