1、湖南省湘潭市2012届高三第五次模拟试题答卷数学 (理)一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在答题卡上.)1. 在复平面内,复数对应的点位于 ( D )A. 一、三象限的角平分线上 B. 二、四象限的角平分线上C. 实轴上 D. 虚轴上2、已知 ( B )A B - C D -3.设两个正态分布N(,)()和N(,)()曲线如图所示,则有( A )A. B. C. D. 4、设集合,则的子集的个数是( A )A4 B3 C 2 D15、 ,则 ( A ) 6已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A、B两点,|AB|12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为(C)A18 B24 C36 D487. 如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积是( A ) A B C D8、如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧AP的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图像大致是(
2、C )二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.(一)选作题(请考生在9、10、11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)(9)(坐标系与参数方程选做题).已知圆C的圆心是直线(为参数)与轴的交点,且圆C与直线=0相切。则圆C的方程为 。【答案】10、若不等式对于一切非零实数均成立,则实数的取值范围是 11、(几何证明选讲选做题)如图,P是O外一点,PD为O的切线,D为切点,割线PEF经过圆心O,若PF=12,PD=,则线段FD的长为_。解:切割线定理:PD2=PE*PF得PE=4.R=4,在三角形PDO中,易知POD=60,由外角等于不相邻内角和知EFD=30.由余弦定理知FD=(由三角形DPF为等腰三角形也可得结论)(二)必做题(1216题)12、某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名,现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为 设在高二年级的学生中应抽取的人数为x人,则,解得x813、把下面不完整的命题补充完整,并使之
3、成为真命题:若函数的图像与图像关于 对称,则函数 (注:填上你认为可以成为真命题的一种情况即可) 14. 已知向量满足夹角的大小为15. ,则 a10,a11分别是含x10和x11项的系数,所以a10C,a11C,所以a10a11CC0.16已知数列中,=2,表示的整数部分,()表示的小数部分, =+( nN*),则=_;数列中,=1,=2,( nN*),则=_.,三、解答题(本大题共6小题,共75分,答题时应写出文字说明、证明过程或和演算步骤)17(本小题满分12分)已知函数(1)求的最小正周期;(2)若将的图象向右平移个单位,得到函数的图象,并求出关于的方程=1当时的根.17解:(1)4分所以的最小正周期为.6分 (2)将的图象向右平移个单位,得到函数的图象,9分时,由=1得12分18、如图,已知,分别是正方形边、的中点,与交于点,、都垂直于平面,且, ,是线段的中点(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值第18题图解:(1)连结,平面,平面,又,平面,又,分别是、的中点,平面,又平面,平面平面; 6分(2)建立如图所示的直角坐标系,则,则,设平面的法向量为,则,即,令,则,即
4、, -9分设点的坐标为,平面的法向量为,则,所以,即,令,则,故, -10分 ,二面角的余弦值为-12分19.2010年,中国浙江吉利控股集团有限公司以18亿美元收购沃尔沃汽车公司,并计划投资20亿美元来发展该品牌.据专家预测,从2010年起,沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆(2010年的销售量为20000辆),销售利润按照每年每辆比上一年减少10%(2010年销售利润为2万美元/辆)计算.求(1)第n年的销售利润为多少?(2)到2014年年底,中国浙江吉利控股集团有限公司能否通过沃尔沃汽车实现盈利?(即销售利润超过总投资,0.950.59).解:(1)沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆,因此汽车的销售量构成了首项为20000,公差为10000的等差数列.an=10000+10000n. 2分沃尔沃汽车销售利润按照每年比上一年减少10%,因此每辆汽车的销售利润构成了首项为2,公比为1-10%的等比数列.bn=20.9n-1. 4分第n年的销售利润记为,cn=anbn=(10000+10000n)20.9n-1. 6分(2)记到2014年年底,中国浙江吉利控股集
5、团有限公司利润总和为S万美元,则S=200002+3000020.9+4000020.92+5000020.93+6000020.94,8分0.9S=2000020.9+3000020.92+4000020.93+5000020.94+6000020.95,-得0.1S=200002+20000(0.9+0.92+0.93+0.94)-6000020.95,S=10(220000-3200000.95)31.2104(20+18)104. 11分答:第n年的销售利润为(10000+10000n)20.9n-1万美元,到2014年年底,中国浙江吉利控股集团有限公司不能实现盈利. 12分20.某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品,两道工序的加工结果都为A级时,产品为一等品,其余均为二等品.工序产品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8 表一概率 ()已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A级的概率如表一所示,分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙; ()已知一
6、件产品的利润如表二所示,用、 分别表示一件甲、乙产品的利润,在 (I)的条件下,求、的分布列及等级产品一等二等甲5(万元)2.5(万元)乙2.5(万元)1.5(万元) 表二利润E、E; ()已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人40名,可用资. 金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产 品的数量,在(II)的条件下,x、y为何项目产品工人(名)资金(万元)甲85乙210 表三 值时,最大?最大值是多少? (解答时须给出图示)分析:本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识,考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力解析()解: ( 4分)()解:随机变量、的分别列是52.5P0.680.322.51.5P0.60.4 (8分)()解:由题设知目标函数为 作出可行域(如图),作直线 将l向右上方平移至l1位置时,直线经过可行域上的点M点与原点距离最大,此时 取最大值. 解方程组得即时,z取最大值,z的最大值为25.2 . (13分)21.已知点,动点的轨迹曲线满足,过点的直线交曲线于、两点.(1)求的值,并写出曲线的方程;(2)求面积的最大值.解:(1)设,在中,根据余弦定理得. (2分)即.而,所以. 所以. (6分)又,因此点的轨迹是以、为焦点的椭圆(点在轴上也符合题意),.所以曲线的方程为. (8分)(2)设直线的方程为.由,消去x并整理得.显然方程的,设,则由韦达定理得,. (10分)所以.令,则,.由于函数在上是增函数.所以,当,即时取等号.所以,即的最大值为3.所以面积的最大值为3,此时直线的方程为. (13分)22、已知函数.(1)若函数在定义域内为增函数,求实数的取值范围;(2)在(1)的条件下,若,求的极小值;(3)设,若函数存在两个零点,且满足,问:函数在处的切线能否平行于轴?若能,求出该切线方程,若不能,请说明理由.()由题意,知恒成立,即. (2分)又,当且仅当时等号成立.故,所以. (4分)()由()知,令,则,则(5分)由,得或(舍去),若,则单调递减;在也单调递减;若,则单调递增. 在也单调递增;故的极小值为 (8分)()设在的切线平行于轴,其中结合题意,有 (10分)得所以由得所以 (11分)设,式变为设,所以函数在上单调递增,因此,即也就是,
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