经济数学 经济数学第四章
32页1、经济数学 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 目录 第四章多元函数微分学 第一章经济函数与极限 第二章倒数与微分机器经济应用 第三章积分及其经济应用 模块一微积分其经济应用 模块二线性代数基础与线性经济模型 第五章矩阵 第六章线性经济模型简介 模块三概率统计基础 第七章概率统计基础 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 开篇案例 如何确定最优广告策略某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆品的广告 根据统计资料 销售收入R 百万元 与报纸广告费Q 百万元 和电视广告费Q 百万元 之间的关系有如下的经验公式 1 如果不限制广告费用的支出 求最优广告策略 如果可供使用的广告费为 万元 求相应的最优广告策略 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 4 偏导数 一 二元函数的概念 点此看题 我们前面研究的函数只有一个自变量 这样的函数也叫一元函数 但是在实际问题中往往会遇到自变量是两个或两个以上的函数 即多元函数 其中 我们将重点讨论二元函数 例1 生产函数描述了产量Q 因变量 与投入的两个生产要素K 资本 和L 劳动力 之间的确定关系
2、这是一个以K和L为自变量的二元函数 例2 生产两种产品 产量分别为Q 和Q 总成本函数为则总成本函数是产量Q 和Q 的二元函数 定义 二元函数 对于两个变量x y在平面点集内的每一对值 即 x y D 另一个变量z有唯一确定的值与之对应 则称变量z为定义在D上的二元函数 通常记作z f x y x y为自变量 D为定义域 函数z f x y 在点 x y 的函数值记作f x y 或z x y 以x y和z为变量 u为因变量的三元函数记作u f x y z 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 二 偏导数 二元函数z f x y 有两个自变量x和y 它求导数时 是z对x z对y分别求导数 故称为偏导数 对x求导数时 是把二元函数z f x y 中的y看作常量 只把x作为变量 z对x求偏导数 记作 点此看题 4 偏导数 对y求导数时 是把二元函数z f x y 中的x看作常量 只把y作为变量 z对y求偏导数 记作 二元函数z f x y 在点 x y 关于x的偏导数 记作 二元函数z f x y 在点 x y 关于y的偏导数 记作 对二元函数求偏导数 可以用一元函数求导数
3、的基本公式和运算法则 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 二 偏导数 点此看题 4 偏导数 例1 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 二 偏导数 点此看题 4 偏导数 例2 二元函数的偏导数概念很容易推广到三元函数 一个三元函数u f x y z 对x的偏导数 就是把自变量y与z看作常量 只把x看作变量 其他两个偏导数与此相似 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 二 偏导数 点此看题 4 偏导数 例3 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 三 二阶偏导数 二元函数z f x y 的偏导数 z x z y一般仍是x和y的函数 若它们关于x和y的偏导数依然存在 则 z x z y对x和y的偏导数称为二元函数z f x y 的二阶偏导数 函数z f x y 的二阶偏导数 依它对变量求导次序不同 共有以下四个 点此看题 4 偏导数 其中fxx x y 是对x求二阶偏导数 fyy x y 是对y求二阶偏导数 fxy x y 是先对x求偏导数 所得结果再对y求偏导数 fyx x y 是先对y求偏导数 所得结果再对x求偏导
4、数 fxy x y 和fyx x y 通常称为混合偏导数 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 三 二阶偏导数 例4 4 偏导数 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 三 二阶偏导数 例5 4 偏导数 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 学习乐园 我的眼里只有你 如果计算多元函数的偏导数 可记住一句流行歌词 我的眼里只有你 就会很容易计算出多元函数的偏导数 比如对于多元函数偏向自变量x求导 眼里只有自变量x 其他自变量都看作是常数 然后就转化为一元函数的求导问题 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 4 不定积分的换元积分法 一 二元函数的极值 点此看题 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 一 二元函数的极值 例1 4 不定积分的换元积分法 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 一 二元函数的极值 例2 4 不定积分的换元积分法 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 二 最大值和最小值的应用问题 4 不定积分的换元积分法 分析 利用函数的极值可以求函数的最大
5、值与最小值 对于实际应用问题 若已经知道或能够判定函数在其定义域D的内部确实有最大值 或最小值 此时若在D内 函数只有一个驻点 就可以断定该驻点的函数值就是函数在区域D上的最大值 或最小值 解用料最省 即为所用材料面积最小 设水箱的长 宽 高分别为x y z 所用材料面积为 由题意可知 面积S在x y 时一定存在最小值 且仅有一个驻点 因此 当长为 宽为 高为 用料最省 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 4 不定积分的换元积分法 某工厂生产甲 乙两种产品 出售单价分别为 元和 元 总成本C 单位 万元 是两种产品产量Q 和Q 单位 千件 的函数当甲 乙两种产品的产量为多少时 可获利润最大 最大利润是多少 解得唯一驻点 而L 由题意知 最大利润存在 而驻点唯一 故生产 千件产品甲 千件产品乙时 利润最大 最大利润为 万元 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 4 不定积分的换元积分法 生产函数为 若两种生产要素的投入价格pK pL 而产品的价格p 试求使利润最大的两种要素的投入水平 产出水平和最大利润 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击
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