经济数学 经济数学第四章

经济数学 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 目录 第四章多元函数微分学 第一章经济函数与极限 第二章倒数与微分机器经济应用 第三章积分及其经济应用 模块一微积分其经济应用 模块二线性代数基础与线性经济模型 第五章矩阵 第六章线性经济模型简介 模块三概率统计基础 第七章概率统计基础 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 开篇案例 如何确定最优广告策略某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆品的广告 根据统计资料 销售收入R 百万元 与报纸广告费Q 百万元 和电视广告费Q 百万元 之间的关系有如下的经验公式 1 如果不限制广告费用的支出 求最优广告策略 如果可供使用的广告费为 万元 求相应的最优广告策略 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 4 偏导数 一 二元函数的概念 点此看题 我们前面研究的函数只有一个自变量 这样的函数也叫一元函数 但是在实际问题中往往会遇到自变量是两个或两个以上的函数 即多元函数 其中 我们将重点讨论二元函数 例1 生产函数描述了产量Q 因变量 与投入的两个生产要素K 资本 和L 劳动力 之间的确定关系 这是一个以K和L为自变量的二元函数 例2 生产两种产品 产量分别为Q 和Q 总成本函数为则总成本函数是产量Q 和Q 的二元函数 定义 二元函数 对于两个变量x y在平面点集内的每一对值 即 x y D 另一个变量z有唯一确定的值与之对应 则称变量z为定义在D上的二元函数 通常记作z f x y x y为自变量 D为定义域 函数z f x y 在点 x y 的函数值记作f x y 或z x y 以x y和z为变量 u为因变量的三元函数记作u f x y z 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 二 偏导数 二元函数z f x y 有两个自变量x和y 它求导数时 是z对x z对y分别求导数 故称为偏导数 对x求导数时 是把二元函数z f x y 中的y看作常量 只把x作为变量 z对x求偏导数 记作 点此看题 4 偏导数 对y求导数时 是把二元函数z f x y 中的x看作常量 只把y作为变量 z对y求偏导数 记作 二元函数z f x y 在点 x y 关于x的偏导数 记作 二元函数z f x y 在点 x y 关于y的偏导数 记作 对二元函数求偏导数 可以用一元函数求导数的基本公式和运算法则 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 二 偏导数 点此看题 4 偏导数 例1 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 二 偏导数 点此看题 4 偏导数 例2 二元函数的偏导数概念很容易推广到三元函数 一个三元函数u f x y z 对x的偏导数 就是把自变量y与z看作常量 只把x看作变量 其他两个偏导数与此相似 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 二 偏导数 点此看题 4 偏导数 例3 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 三 二阶偏导数 二元函数z f x y 的偏导数 z x z y一般仍是x和y的函数 若它们关于x和y的偏导数依然存在 则 z x z y对x和y的偏导数称为二元函数z f x y 的二阶偏导数 函数z f x y 的二阶偏导数 依它对变量求导次序不同 共有以下四个 点此看题 4 偏导数 其中fxx x y 是对x求二阶偏导数 fyy x y 是对y求二阶偏导数 fxy x y 是先对x求偏导数 所得结果再对y求偏导数 fyx x y 是先对y求偏导数 所得结果再对x求偏导数 fxy x y 和fyx x y 通常称为混合偏导数 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 三 二阶偏导数 例4 4 偏导数 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 三 二阶偏导数 例5 4 偏导数 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 学习乐园 我的眼里只有你 如果计算多元函数的偏导数 可记住一句流行歌词 我的眼里只有你 就会很容易计算出多元函数的偏导数 比如对于多元函数偏向自变量x求导 眼里只有自变量x 其他自变量都看作是常数 然后就转化为一元函数的求导问题 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 4 不定积分的换元积分法 一 二元函数的极值 点此看题 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 一 二元函数的极值 例1 4 不定积分的换元积分法 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 一 二元函数的极值 例2 4 不定积分的换元积分法 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 二 最大值和最小值的应用问题 4 不定积分的换元积分法 分析 利用函数的极值可以求函数的最大值与最小值 对于实际应用问题 若已经知道或能够判定函数在其定义域D的内部确实有最大值 或最小值 此时若在D内 函数只有一个驻点 就可以断定该驻点的函数值就是函数在区域D上的最大值 或最小值 解用料最省 即为所用材料面积最小 设水箱的长 宽 高分别为x y z 所用材料面积为 由题意可知 面积S在x y 时一定存在最小值 且仅有一个驻点 因此 当长为 宽为 高为 用料最省 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 4 不定积分的换元积分法 某工厂生产甲 乙两种产品 出售单价分别为 元和 元 总成本C 单位 万元 是两种产品产量Q 和Q 单位 千件 的函数当甲 乙两种产品的产量为多少时 可获利润最大 最大利润是多少 解得唯一驻点 而L 由题意知 最大利润存在 而驻点唯一 故生产 千件产品甲 千件产品乙时 利润最大 最大利润为 万元 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 4 不定积分的换元积分法 生产函数为 若两种生产要素的投入价格pK pL 而产品的价格p 试求使利润最大的两种要素的投入水平 产出水平和最大利润 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 三 最小二乘法 4 不定积分的换元积分法 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 4 不定积分的换元积分法 解设所求的线性函数为y a bx 为了用最小二乘法计算a和b 由已知的 对数据可算出下表中数据 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 学习乐园 小小大 小大小 利用极值存在的充分条件来判断二元函数的驻点是否为极值点 可以用 小小大 小大小 来记忆 即若函数f x y 在点P x y 及其邻近具有一阶和二阶连续偏导数 且满足fx x y fy x y 记 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 4 条件极值 一 条件极值的意义 分析比较上述两个案例 不难发现 比 多了一个附加条件g x y x y 一般来说 g x y 在xOy平面上表示一条曲线 这里 x y 是一条直线 这样 我们要求的极值点不仅在圆域内 且应在直线x y 上 可以求得这个问题的极大值点及极大值 见解案例 案例 的问题 由于在求极值时 有附加条件x y 称为条件极值问题 而案例 相应地称为无条件极值问题 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 4 条件极值 二 条件极值的求法 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 例2 4 条件极值 二 条件极值的求法 用拉格朗日乘数法解 中的案例 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 例3 4 条件极值 二 条件极值的求法 某工厂生产甲 乙两种产品 出售单价分别为 元和 元 总成本 单位 万元 是甲 乙两种产品产量Q 和Q 单位 千件 函数 若产量限额为Q Q 则如何分配两种产品的产量 可获最大利润 最大利润是多少 解得Q Q 故是唯一驻点 也是最大值点 从而 当产品甲生产 千件 产品乙生产 千件时 利润最大 最大利润为 万元 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 开篇案例解答 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 本章内容小结 一 偏导数 一阶偏导数 二元函数z f x y 对x求偏导数fx x y 时 是把f x y 中的y视为常量 只把x作为变量 二元函数z f x y 对y求偏导数fy x y 时 是把f x y 中的x视为常量 只把y作为变量 二阶偏导数二元函数z f x y 的二阶偏导数共有以下四个 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 本章内容小结 二 二元函数无条件极值的求法 极值存在的必要条件若函数z f x y 在点P x y 存在偏导数且有极值 则必有fx x y fy x y 极值存在的充分条件若函数z f x y 在点P x y 及其邻近具有一阶和二阶连续偏导数 且满足 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 本章内容小结 三 条件极值的求法 求目标函数z f x y 在约束条件g x y 下的极值问题 有两种方法 化为无条件极值问题从g x y 中解出y y x 把它代入目标函数 得到z f x x 这个一元函数z f x x 的极值就是函数z f x y 在约束条件g x y 之下的条件极值 但是这种方法不具有一般性 拉格朗日乘数法 作辅助函数 F x y f x y g x y 求可能取极值的点 解方程组 得可能取条件极值的点 x y 判定所求得的点 x y 是否为极值点 按实际问题可确定点 x y 是否为条件极值点 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 点击添加文本 科学家的故事 钱学森从小到大都处在优越的教育环境下 岁时进入北京师范大学附属中学学习 岁时考入上海交通大学 年后公费留学美国 钱学森考进上海交通大学后 被分进机械工程专业 一次实验课后 别的同学交出的实验报告都非常简单 只是按照老师的要求写下了实验过程和结果 钱学森的实验报告却写了几十页 不仅记录了实验的情况 还写了自己的分析和思考 从来不打满分的实验课老师破例给了钱学森一百分 后来 钱学森奔赴美国求学 在加州理工学院做研究时 他发表了一篇有关飞机飞行方面的学术论文 他的这篇论文经过了无数次计算 算错了就重来 直到正确为止 论文发表后只有十页纸 可是他的手稿有八百多页 每当论文写好后 钱学森就会把手稿装进档案袋里 并在厚实的牛皮纸上用铅笔写上 Final 意为完成 结束 仔细想想后 他又在下面添上一句 Nothingisfinal 意为没有什么事情是可以完结的 最后 钱学森在这句话下面打了三个惊叹号 用以提醒自己 在科学研究上是没有结束那天的 严谨 认真再加上勤奋 使得他在发表了博士生论文后就小有名气 后来 他在空气动力学 物理力学上都取得了不小成就 光是英文写就的学术论文就超过了三百多篇 钱学森在美国加州理工学院的师友曾评价他 具有浓浓的书卷气 不像他的老师冯卡门那样开朗风趣 喜爱交际 但是这位书卷气很浓的学生成为老师后 对待学生却极有意思 年 历尽千难回国的钱学森担任了中国科技大学近代力学系主任 有一年 近代力学系的学生毕业考试 钱学森出了两道题 其中一道是概念阐述 学生多半可以得分 另外一题却害苦了这群毕业生 题目是这样的 从地球上发射一枚火箭 绕过太阳 再返回到地球上来 请列出方程求出解 时至中午 无一人答出 还晕倒了几个学生 钱学森见状 说道 先吃饭吧 回头接着考 饭后学生们重返考场 直到傍晚 全班只有几个学生及格 钱学森为了顾及学生面子 想出一个奇特的打分办法 将一个学生目前的成绩开方再乘以十 得到最终的成绩 这样一来 一部分学生勉强进入了 及格线 一场考试体现出学生数学基础不牢的状况 钱学森当时决定 全班推迟毕业 再学半年 主攻数学 打好数学基础 如今这个班里的很多学生成了院士 忆及当年 这些人都觉得那半年获益匪浅 钱学森的这一招其实是从冯 卡门那里学来的 当年 他在冯卡门的班上学习 有一年 眼看着期末考试临近 耐不住性子的同班同学跑去问老师怎么不给大家复习提纲 冯卡门疑惑地看着学生 问道 为什么要给你们复