2017-2018学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1.3 绝对值不等式的解法学案 新人教b版选修4-5
10页1、13 绝对值不等式的解法读教材填要点1含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a0|x|aa,a|x|a(,aa,R2|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc;(2)|axb|caxbc或axbc.3|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法(1)分区间讨论法:以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解,体现分类讨论的思想确定各个绝对值符号内多项式的正、负进而去掉绝对值符号是解题关键(2)图象法:构造函数,结合函数的图象求解(3)几何法:利用绝对值不等式的几何意义求解小问题大思维1|x|以及|xa|xb|表示的几何意义是什么?提示:|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离;|xa|xb|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a,b的点的距离之和(差)2如何解|xa|xb|、|xa|xb|(ab)型的不等式的解集?提示:可通过两边平方去绝对值符号的方法求解含一个绝对值不等式的解法例1解下列不等式:(1)1|x2|3;(2)|2x5|7x;(3).思路点拨本题考查较简单的绝对值不等式的解法解答本题
2、(1)可利用公式转化为|axb|c(c0)或|axb|c(c0)型不等式后逐一求解,也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号,还可用平方法转化为不含绝对值的不等式(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式(3)可分类讨论去掉分母和绝对值精解详析(1)法一:原不等式等价于不等式组即解得1x1或3x5,所以原不等式的解集为x|1x1或3x5法二:原不等式可转化为:或由得3x5,由得1x1,所以原不等式的解集是x|1x1或3x5(2)由不等式|2x5|7x,可得2x57x或2x5(7x),整理得x2或x4.原不等式的解集是x|x4或x2(3)当x220且x0,即当x,且x0时,原不等式显然成立当x220时,原不等式与不等式组等价,x22|x|即|x|2|x|20,|x|2,不等式组的解为|x|2,即x2或x2.原不等式的解集为(,2(,0)(0,)2,)含一个绝对值不等式的常见类型及其解法:(1)形如|f(x)|a,|f(x)|a(aR)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法,即当a0时,|f(x)|aaf(x)a.|f(x)|af(x)a或f(x)a.当a0时,|f(x)|a无解|f
3、(x)|af(x)0.当a0时,|f(x)|a无解|f(x)|af(x)有意义(2)形如|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法,即|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x),|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(其中g(x)可正也可负)若此类问题用分类讨论法来解决,就显得较复杂(3)形如a|f(x)|b(ba0)型不等式此类问题的简单解法是利用等价命题法,即a|f(x)|b(0ab)af(x)b或bf(x)a.(4)形如|f(x)|f(x),|f(x)|f(x)型不等式此类题的简单解法是利用绝对值的定义,即|f(x)|f(x)f(x)0,|f(x)|f(x)x.1设函数f(x)|2xa|5x,其中a0.(1)当a3时,求不等式f(x)5x1的解集;(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1,求a的值解:(1)当a3时,不等式f(x)5x1可化为|2x3|1,由此可得x2或x1.故不等式f(x)5x1的解集为x|x1或x2(2)由f(x)0得|2xa|5x0,此不等式可化为不等式组或即或因为a0,所以不等式组的解集为.由题设可
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