2017－2018学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1.3 绝对值不等式的解法学案 新人教b版选修4-5

13 绝对值不等式的解法读教材·填要点1含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a0|x|aa，a|x|a(，aa，R2|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc；(2)|axb|caxbc或axbc.3|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法(1)分区间讨论法：以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想确定各个绝对值符号内多项式的正、负进而去掉绝对值符号是解题关键(2)图象法：构造函数，结合函数的图象求解(3)几何法：利用绝对值不等式的几何意义求解小问题·大思维1|x|以及|xa|±|xb|表示的几何意义是什么？提示：|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离；|xa|±|xb|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和(差)2如何解|xa|xb|、|xa|xb|(ab)型的不等式的解集？提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解含一个绝对值不等式的解法例1解下列不等式：(1)1|x2|3；(2)|2x5|7x；(3).思路点拨本题考查较简单的绝对值不等式的解法解答本题(1)可利用公式转化为|axb|c(c0)或|axb|c(c0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式(3)可分类讨论去掉分母和绝对值精解详析(1)法一：原不等式等价于不等式组即解得1x1或3x5，所以原不等式的解集为x|1x1或3x5法二：原不等式可转化为：或由得3x5，由得1x1，所以原不等式的解集是x|1x1或3x5(2)由不等式|2x5|7x，可得2x57x或2x5(7x)，整理得x2或x4.原不等式的解集是x|x4或x2(3)当x220且x0，即当x，且x0时，原不等式显然成立当x220时，原不等式与不等式组等价，x22|x|即|x|2|x|20，|x|2，不等式组的解为|x|2，即x2或x2.原不等式的解集为(，2(，0)(0，)2，)含一个绝对值不等式的常见类型及其解法：(1)形如|f(x)|a，|f(x)|a(aR)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即当a0时，|f(x)|aaf(x)a.|f(x)|af(x)a或f(x)a.当a0时，|f(x)|a无解|f(x)|af(x)0.当a0时，|f(x)|a无解|f(x)|af(x)有意义(2)形如|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)，|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(其中g(x)可正也可负)若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂(3)形如a|f(x)|b(ba0)型不等式此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a|f(x)|b(0ab)af(x)b或bf(x)a.(4)形如|f(x)|f(x)，|f(x)|f(x)型不等式此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即|f(x)|f(x)f(x)0，|f(x)|f(x)x.1设函数f(x)|2xa|5x，其中a>0.(1)当a3时，求不等式f(x)5x1的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值解：(1)当a3时，不等式f(x)5x1可化为|2x3|1，由此可得x2或x1.故不等式f(x)5x1的解集为x|x1或x2(2)由f(x)0得|2xa|5x0，此不等式可化为不等式组或即或因为a>0，所以不等式组的解集为.由题设可得1，故a3.含两个绝对值不等式的解法例2解不等式|x7|3x4|>0.思路点拨先求出零点即x7，再分段讨论精解详析原不等式化为|x7|3x4|1>0，当x>时，原不等式为x7(3x4)1>0，得x<5，即<x<5；当7x时，原不等式为x7(3x4)1>0，得x>，即<x；当x<7时，原不等式为(x7)(3x4)1>0，得x>6，与x<7矛盾；综上，不等式的解为<x<5.(1)|xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况(2)|xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)|xa|xb|c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式不妨设ab，于是f(x)这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想(3)形如|f(x)|g(x)|型不等式此类问题的简单解法是利用平方法，即|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2f(x)g(x)f(x)g(x)0.2设函数f(x)|2x1|x3|.(1)解不等式f(x)4；(2)求函数yf(x)的最小值解：(1)由题意得，f(x)|2x1|x3|所以不等式f(x)4，等价于或或解得x8或x2.所以原不等式的解集为x|x8或x2(2)由(1)知，当x<时，f(x)x4，所以f(x)在上单调递减；当x3时，f(x)3x2，所以f(x)在上单调递增；当x>3时，f(x)x4，所以f(x)在(3，)上单调递增故当x时，yf(x)取得最小值，此时f(x)min.含参数的绝对值不等式的解法例3设函数f(x)|x1|xa|.如果xR，f(x)2，求a的取值范围思路点拨本题考查绝对值不等式的解法解答本题应先对a进行分类讨论，求出函数f(x)的最小值，然后求a的取值范围精解详析若a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件若a1，f(x)f(x)的最小值为1a.若a1，f(x)f(x)的最小值为a1.所以xR，f(x)2的充要条件是|a1|2，从而a的取值范围为(，13，)含有参数的不等式的求解问题分两类，一类不需要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数a进行讨论，得到关于参数a的不等式(组)，进而求出参数的取值范围3(辽宁高考)已知函数f(x)|xa|，其中a>1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值解：(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x1；当2<x<4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3.对应学生用书P12 一、选择题1若不等式|ax2|6的解集为(1,2)，则实数a的取值为()A8B2C4 D8解析：原不等式化为6ax26，即8ax4.又1x2，验证选项易知a4适合答案：C2如果<2和|x|>同时成立，那么x的取值范围是()A. B.C. D.解析：解不等式<2得x<0或x>；解不等式|x|>得x>或x<.如图所示：x的取值范围为.答案：B3如果关于x的不等式|xa|x4|1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是()A(，35，)B5，3C3,5D(，53，)解析：在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a5或a3.答案：D4若关于x的不等式|x1|kx恒成立，则实数k的取值范围是()A(，0 B1,0C0,1 D0，)解析：作出y|x1|与l1；ykx的图象如图，当k0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k0时，直线为x轴，符合题意；当k>0时，要使|x1|kx恒成立，只需k1.综上可知k0,1答案：C二、填空题5不等式|2x1|2|x1|0的解集为_解析：原不等式即|2x1|2|x1|，两端平方后解得12x3，即x.答案：6不等式1的实数解集为_解析：1|x1|x2|，x20(x1)2(x2)2，x2x，x2.答案：(，2)7若不等式x|a2|1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是_解析：|x|2，|a2|12，即|a2|1，解得1a3.答案：1a38若关于x的不等式|x1|xa|a的解集为R(其中R是实数集)，则实数a的取值范围是_解析：不等式|x1|xa|a恒成立，a不大于|x1|xa|的最小值，|x1|xa|1a|，|1a|a,1aa或1aa，解得a.答案：三、解答题9解不等式|2x4|3x9|1.解：(1)当x2时，原不等式可化为解得x2.(2)当3x2时，原不等式可化为解得x2.(3)当x3时，原不等式可化为解得x12.综上所述，原不等式的解集为.10已知函数f(x)|2x1|x2a|.(1)当a1时，求f(x)3的解集；(2)当x1,2时，f(x)3恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，原不等