1、本章重点 (1)掌握在极坐标系中基本方程的建立 ; (2)掌握极坐标系中平面问题按应力求解的方法; (3)了解极坐标系中与直角坐标系中的基本方程的相似之处和不同之处; (4)掌握用极坐标对圆环或圆筒均布压力、压力隧洞、圆孔孔口应力集中、半平面体在边界上受集中力或受分布力时的解答。,第四章 平面问题的极坐标求解,2019/10/19,1,2019/10/19,2,4.1极坐标中的平衡微分方程 1.建立模型 在区域 A 的任一点P(,),取出一个微分体,建立的坐标系如图4-1所示。,图 4- 1,第四章 平面问题的极坐标求解,2.正负符号的规定 (1)在极坐标中,从原点出发,以向外为正;而以 x轴正向到 y轴正向的转向为正; (2)应力的表示和符号规定与直角坐标相同,仍以正面正向,负面负向的应力为正,反之为负; (3)微分体上的体力为 和 ,表示于微分体的中心,分别沿径向和环向,以沿正坐标方向为正,反之为负。,2019/10/19,3,第四章 平面问题的极坐标求解,第四章 平面问题的极坐标求解,3.列平衡方程求解 由 可得 由 可得,2019/10/19,4,化简以上两式,由于 微小,可以
2、把 另外在上式中,分别出现了一、二、三阶微量,其中一阶微量互相抵消,二阶微量保留,而将更高阶的三阶微量略去。化简可得:,2019/10/19,5,(4-1),第四章 平面问题的极坐标求解,4.直角坐标与极坐标比较 1.在(4-1)的第一式中,前两项与直角坐标的相似;而 项是由于正面的面积大于负面而产生的, 是由于正负面上的正应力在通过微分体中心的方向有投影而引起的。 2.在式(4-1)的第二式中,前两项也与直角坐标的相似;而 是由于正面面积大于负面而产生的; 是由于正负面上的切应力在通过微分体中心的方向有投影而引起的。由于 我们仍将这两个切应力只作为一个未知函数处理。,6,2019/10/19,第四章 平面问题的极坐标求解,4.2 极坐标中的几何方程及物理方程 1.几何方程的推导 (1)建立坐标系 在区域内任取一点P(,)作两个沿正标向的微分线段PA=d和PB =d,图4-2所示。,2019/10/19,7,图 4- 2,第四章 平面问题的极坐标求解,推导几何方程分为两步:一步考虑只有径向位移 的情形;第二步再考虑只有环向位移 的情形。 (2)微分体只发生径向位移 设变形后,P点的位移
3、分量为 则A点相对于P点,要计入由于坐标增量 而引起的增量,位移分量应为 B点相对于P点,要考虑由d而引起的增量,位移分量应为 ,如图4-2(a)所示。,2019/10/19,8,第四章 平面问题的极坐标求解,第四章 平面问题的极坐标求解,又由于图4-2(a)中的角很小,以 ,于是 。由此,我们得到: PA 线段的线应变 ,转角=0; PB 线段的线应变 ,转角: 注: 是极坐标中才有的,表示由于径向位移而引起的环形线段的伸长应变。,2019/10/19,9,(3)微分体只发生环向位移 微分线段 变形后成为 , 。变形后P点的环向位移 ,由于坐标的增量 的位移分别为 和 见图4-2(b)。同样考虑 PA 的转角是微小的,我们可以得出: PA 的线应变: 转角:,2019/10/19,10,第四章 平面问题的极坐标求解,PB 的线应变: 转角: 需要说明的是: 是由于环向位移而引起的环向线段的转角。因为变形前的环向线切线垂直于OP,而变形后的环向线切线垂直于 ,这两切线的转角应等于圆心角 。并且,这个转角使原直角APB增大,按切应变的定义应为负值。这项也是在极坐标中才有的。,2019/1
4、0/19,11,第四章 平面问题的极坐标求解,(4)结论 当径向和环向位移同时发生时,在几何线性问题中;可以应用叠加原理而得极坐标中的几何方程:,2019/10/19,12,(4-2),与直角坐标中的几何方程相比,除了上述指出的两项是极坐标中特有的之外,其余的几项都是相似的。,第四章 平面问题的极坐标求解,2.极坐标系中的物理方程 在直角坐标系中,物理方程是代数方程,且其中x与y坐标线为正交。而在极坐标系中与坐标线也为正交,因此,极坐标中的平面应力问题的物理方程可以相似地得出:,2019/10/19,13,(4-3),第四章 平面问题的极坐标求解,3.说明 (1)对于平面应变问题,同样只需将式(4- 3)中的 E,换为: , ,即可得出平面应变问题的物理方程。 (2)极坐标中的边界条件,由于边界面通常均为坐标面,即面(=常数)或面(=常数),使边界的表示十分简单,所以边界条件也十分简单。例如,给定的约束条件通常是径向位移值和环向位移值,可以分别与 建立等式。在应力边界条件中,通常给出径向和切向的面力,也可以直接与对应的应力分量建立等式。,2019/10/19,14,第四章 平面问题的极
5、坐标求解,4.3 极坐标中的应力函数与相容方程 1.直角坐标系和极坐标系之间的变换关系 (1)坐标变量的变换 反之 (2)函数的变换 只需将坐标变换式(a)或式(b)代入函数即可。,2019/10/19,15,(a),(b),第四章 平面问题的极坐标求解,(3)位移(矢量)的变换,2019/10/19,16,设位移矢量为d,它在(x,y)和(,)坐标系中的分量,,如图 4-3所示。,分别表示为(u,v)和,图 4-3,第四章 平面问题的极坐标求解,第四章 平面问题的极坐标求解,则位移分量的变换关系为: 反之:,(c),(d),2019/10/19,17,(4)导数的变换,2019/10/19,18,设有函数,,可将,看成是,的函数,即,;,而,又是x,y的函数,如式(b)所示。因此,可以认为是通过中间变量(,)的关于(x,y)的复 合函数。按照复合函数的求导公式,有:,第四章 平面问题的极坐标求解,第四章 平面问题的极坐标求解,其中,对x,y的导数,可以由式(b)得出: 整理,即得一阶导数的变换公式:,(e),(f),2019/10/19,19,2019/10/19,20,二阶导数的变
6、换可以从一阶导数得出,因为:,第四章 平面问题的极坐标求解,2019/10/19,21,由图4-1可见,如果把x轴和y轴分别转到,(5)应力分量用应力函数表示,的方向,使,该微分体的坐标成为零,则,分别成为,于是当不计体力时,即可由式(a)至(c)得出应力分量用 应力函数表示:,(4-5),第四章 平面问题的极坐标求解,(6)极坐标中的相容方程,2019/10/19,22,将教科书 4.3中的式(a),(b)式相加,就可以得出拉普拉斯 算子的变换式:,由此,极坐标中的相容方程仍为:,(4-6),其展开式:,第四章 平面问题的极坐标求解,2019/10/19,23,当不计体力时,在极坐标系中按应力求解平面问题,归结为求解一个应力函数 ,它必须满足:,1)在 区域内的相容方程(4-6);,2)边界上的应力边界条件;,3)如为多连体,还须满足位移的单值条件。,求解,的方法,仍然可以用逆解法和半逆解法。求,得应力函数后,就可以由式(4-5)求出应力分量。,第四章 平面问题的极坐标求解,4.4 应力分量的坐标变换式 1.直角坐标应力分量变换极坐标应力分量 在区域内取出一个z向为单位厚度、包括x面
7、,y面和面的三角形微分体,如图4-4所示。,2019/10/19,24,,,图 4- 4,第四章 平面问题的极坐标求解,根据图 4-4中三角板A的受力情况和各边的几何关系,如设bc=ds,ab=dscos,ac=dssin。 列平衡方程 可得 用 ,化简可得: 同理,列平衡方程 ,化简可求得,2019/10/19,25,第四章 平面问题的极坐标求解,类似地由三角板B同样可以求出 。 综上可得由直角坐标向极坐标转换的关系式: (2)请自己推出由极坐标向直角坐标转换的关系式:,(4- 7),(4-8),2019/10/19,26,第四章 平面问题的极坐标求解,4.5 轴对称应力和相应的位移 1.概念 轴对称,即绕一轴对称,是指通过此轴的任何面均为对称面。 2.轴对称物理量的特点 (1)方向必须对称,因此,方向不对称的物理量不应存在。因此: (2)数值必须相同,因此,它只能是的函数,沿向不变 。由此可见,凡是轴对称问题,总是使自变量减少一维,即:,2019/10/19,27,第四章 平面问题的极坐标求解,3.轴对称应力表达式 根据轴对称物理量的特点,可得到轴对称应力的表达式: 4.轴对称的相
8、容方程 根据轴对称物理量的特点,可得到轴对称相容方程的表达式:,2019/10/19,28,(4-9),第四章 平面问题的极坐标求解,5.轴对称应力问题中应力函数的解 根据轴对称的相容方程,即: 成为四阶常微分方程,而四阶常微分方程总共只有四个解: 这就是轴对称应力问题中应力函数的通解。因而,我们可以得到个参数的表达式: 6.轴对称问题的应力通解,2019/10/19,29,(4-10),(4-11),第四章 平面问题的极坐标求解,2019/10/19,30,7.轴对称问题形变分量的通解,从上式中可看出:得到的,也是轴对称的。,第四章 平面问题的极坐标求解,第四章 平面问题的极坐标求解,8.轴对称问题位移分量的通解 由形变通过几何方程求位移,通过积分得:,(4-12),2019/10/19,31,9.上述推导需说明几点 (1)在轴对称应力条件下,平面问题的自变量只有一个,相容方程是常微分方程,其解答是完全确定的; (2)上面得出的 、应力、形变和位移,都是轴对称应力条件下的通解,适用于任何轴对称应力问题; (3)得出的位移分量包含了非轴对称的项,但可以用来处理各种位移边界条件; (4)
9、解答中,只有若干系数是待定的,它们可以由给定的应力或位移边界条件,以及多连体中的位移单值条件来确定 。,2019/10/19,32,第四章 平面问题的极坐标求解,4.6 圆环或圆筒受均布压力,2019/10/19,33,1.模型 圆环或圆筒受均布压力的受力情况,属于轴对称问题,如图4-5a所示。,图4-5,第四章 平面问题的极坐标求解,2019/10/19,34,根据轴对称解答,只需根据给定的应力或位移边界条 件和多连体中的位移单值条件,来确定解答中的若干 系数即可。,2.圆环或圆筒受均布压力时的解题步骤,(1)应力边界条件,在,的边界面上,分别有应力边界条件:,(a),(b),第四章 平面问题的极坐标求解,2019/10/19,35,在平面问题中每边应有两个边界条件,由于轴对称,所,以式(b)自然满足。将式(a)代入轴对称应力解答式 (4- 11)得:,(c),从上式可以看出,边界条件都已满足,但2个方程不能 解决3个未知数A,B,C。因为这里讨论的是多连体问题, 所以要考虑位移单值条件。,第四章 平面问题的极坐标求解,(2)多连体中的位移单值条件 单值条件实际上是物体连续性条件的表现形式。即在连续体上,对于同一点的应力、形变和位移只可能有一个值,即应为单值。在按位移求解时,可不需要效正单值条件;但按应力求解时,对于多连体须要校核位移的单值条件。,第四章 平面问题的极坐标求解,2019/10/19,36,第四章 平面问题的极坐标求解,圆环和圆筒是二连体,而位移解答式 (4-12)中的 是一个多值函数。因此,由单值条件得出,必须令系数 B = 0。 将B = 0代入式(c)可解得:,2019/10/19,37,2019/10/19,38,将解
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