高考数学一轮复习讲练测（浙江版）专题9.7 抛物线（讲） 含解析

1、 内 容要 求备注ABC解析几何1. 掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有初步的，感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关问题中识别和认识它.理解：要求对所列知识有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明，用数学语言表达，利用所学的知识内容对有关问题作比较，判断，讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.掌握：要求对所列的知识内容能够推导证明，利用所学知识对问题能够进行分析，研究，讨论，并且加以解决.2掌握抛物线的简单性质【考点深度剖析】纵观近几年的高考试题，高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多.一般地，命题以小题为主，多为选

2、择题或填空题，解答题较少.【课前检测训练】1. 若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A. B.C. D0【答案】B【解析】M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.2. 以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为3，则其方程是()Ay4x2 By8x2Cy24x Dy28x【答案】D1.【课本典型习题，P73第3题】抛物线上一点M到焦点F的距离，求点M的坐标【答案】【解析】设点，由抛物线的定义得，则，代入抛物线方程得，所以点M的坐标为2.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )（A） （B） （C） （D）1【答案】C【解析】设（不妨设），则由已知得，故选C.3.【2017年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）】已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是（ ）A B C D【答案】C4.【基础经典试题】已知是抛物线的焦

3、点，的中点到轴的距离为，则 （）A2 B C3 D4【答案】C【解析】抛物线的准线方程：，线段的中点到准线的距离为，由抛物线的性质得5.【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为,交轴于点,则,即点纵坐标为,则点横坐标为,即,由勾股定理知,即,解得,即的焦点到准线的距离为4,故选B.【题根精选精析】考点1 抛物线的标准方程及几何性质【1-1】已知是抛物线上任意一点，则当点到直线的距离最小时，点与该抛物线的准线的距离是( ) A2 B1 C D【答案】C【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2y2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为( )Ay2=4x By2=8x Cx2=4y Dx2=8y【答案】B【解析】抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上排除C、D，设抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为，双曲线的渐进线方程为，由面积为可得，所以，答案

4、选B.【1-3】已知抛物线的准线与圆相切，则的值为( ).A B1 C2 D4【答案】C【基础知识】图形标准方程y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）顶点O（0，0）范围x0， x0，y0，y0，对称轴x轴y轴焦点离心率e=1准线方程焦半径【思想方法】1涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性2求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题【温馨提醒】1. 在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况；2. 标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在

5、解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 考点2 抛物线的定义及应用【2-1】【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_【答案】【解析】【2-2】过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（ ） A8 B10 C6 D4【答案】A【解析】由于，因此，根据焦点弦公式.【2-3】已知是抛物线的焦点，的中点到轴的距离为，则 （）A2 B C3 D4【答案】C【基础知识】平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线【思想方法】1抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线

6、的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决【温馨提醒】1.抛物线的定义是联系抛物线上的点到焦点距离和到准线距离的桥梁，解题时要注意合理转化抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的作用考点3 直线和抛物线的位置关系【3-1】已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）A B C D【答案】C【解析】设直线方程，得代入抛物线方程得化简的，准线方程【3-2】【浙江省温州市普通高中2017届高三8月模拟】过抛物线的焦点的直线分别交抛物线于两点，交直线于点，若，则_【答案】0【3-3】【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为；求p的取值范围.【答案】（1）（2）详见解析，（2）设，线段PQ的中点因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为由消去得因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以从而，化简得.方

7、程（*）的两根为，从而因为在直线上，所以因此，线段PQ的中点坐标为因为在直线上所以，即由知，于是，所以因此的取值范围为【基础知识】1.将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若 0 直线和抛物线相交，有两个交点；0直线和抛物线相切，有一个公共点；0直线和抛物线相离，无公共点2. 直线与抛物线的相交弦设直线交抛物线于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【思想方法】.已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：焦点弦长，其中|AF|叫做焦半径，焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。【温馨提醒】1.在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解2.抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.【易错问题大揭秘】易错典例：求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点【易错点】对直线和抛物线有一个交点理解有误【分析】1.当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。2.当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。3.一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k = ,所求直线为综上，满足条件的直线为：温馨提示：直线和抛物线有一个交点有两种情况：相切以及平行于对称轴【针对训练】设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作抛物线的两条切线交于点，则有（ ）A B C D【答案】A【解析】设出过点F的直线方程即，联立方程组，化简整理得，设，则由韦达定理得，由可得，于是解方程组可得，所以点C的坐标为所以故答案应选A

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