高二离散型随机变量的均值与方差;正态分布(理科)Word版
10页1、年 级高二学科数学内容标题离散型随机变量的均值与方差;正态分布(理科)编稿老师邵珍红一、教学目标:(1)了解离散型随机变量的期望值、方差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.(2)正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0,1)二、知识要点分析:1. 数学期望:一般地,若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称 为的数学期望,简称期望2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.3. 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量的概率分布中,令,则有,所以的数学期望又称为平均数、均值.4. 期望的一个性质:5. 若B(n,p),则E=np.6. 方差:对于离散型随机变量,如果它所有可能取的值是,且取这些值的概率分别是,那么,称为随机变量的均方差,简称为方差,式中的是随机变量的期望.7. 标准差:的算术平方根叫做随机变量的标准差,记作.8. 方差的性质:(1);(2);(3)若B(n,p),则np(1p).9. 随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数,它们都反映了随机变量取
2、值的稳定与波动、集中与离散的程度;标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛.10. 总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率 / .设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间(a,b)内取值的概率等于总体密度曲线,直线x=a,x=b及x轴所围图形的面积.观察总体密度曲线的形状,它具有“两头低,中间高,左右对称”的特征,具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示:式中的实数、是参数,分别表示总体的平均数与标准差,的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.11. 正态曲线的性质:(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交.(2)曲线关于直线x=对称.(3)当x=时,曲线位于最高点.(4)当x时,曲线上升(增函数);当x时,曲线下降(减函数).并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.(5)一定时,曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;越
3、小曲线越“瘦高”,总体分布越集中:12. 标准正态曲线:当=0、=l时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是,(x+)其相应的曲线称为标准正态曲线.【典型例题】知识点1:离散型随机变量的均值例1:已知离散型随机变量的分布列如下表.若,则 , .思路分析:按分布列的性质.解:由题知,解得,.解题后的思考:按照定义去求解.例2:在这个自然数中,任取个数.(I)求这个数中恰有个是偶数的概率;(II)设为这个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为,则有两组相邻的数和,此时的值是)求随机变量的分布列及其数学期望.思路分析:解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件.解:(I)记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A,则;(II)随机变量的取值为的分布列为012P所以的数学期望为解题后的思考:按照公式进行求解.例3:某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.()求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;()求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.思路分析:分析清
4、楚具体事件,特别注意随机变量的可能取值.解:()设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为.()由题意,可得可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min).事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”(0,1,2,3,4),即的分布列是02468的期望是.解题后的思考:本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.小结:离散性随机变量的均值的意义:(1)均值是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.(2)E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,它描述X取值的平均状态.(3),说明随机变量X的线性函数Y的均值等于随机变量X均值的线性函数.知识点2:离散型随机变量的方差例4:在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是A.
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