第十章第5节 直线与圆锥曲线
42页1、第十章 圆锥曲线第五节 直线与圆锥曲线题型126 直线与圆锥曲线的位置关系2013年1. (2013天津文18)设椭圆的左焦点为,离心率为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为(1) 求椭圆的方程;(2) 设, 分别为椭圆的左右顶点,过点且斜率为的直线与椭圆交于,两点若,求的值2.(2013山东文22)在平面直角坐标系中,已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,短轴长为,离心率为(1)求椭圆的方程;(2),为椭圆上满足的面积为的任意两点,为线段的中点,射线 交椭圆于点,设,求实数的值3. (2013安徽文21)已知椭圆的焦距为,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为.取点,连接,过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点?并说明理由.2014年1.(2014湖北文8)设是关于的方程的两个不等实根,则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为( ).A B C D2.(2014大纲文22)已知抛物线C:的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.()求C的方程;()过F的直线l与C相交于A,
2、B两点,若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.2015年1.(2015安徽文20)设椭圆的方程为,点为坐标原点,点 的坐标为,点的坐标为,点在线段上,满足,直线的斜率为.(1)求的离心率; (2)设点的坐标为,为线段的中点,求证:.1. 分析(1)由且,可得.又因为的斜率为,所以,根据椭圆的性质,即可求出离心率;(2)由题意可知点的坐标为,所以,推出 ,即可证明结果.解析 (1)由,且,可得.又因为的斜率为,所以,则,即,亦即,得.(2)由题意可知点的坐标为,所以,所以,所以.2. (2015北京文20)已知椭圆,过点且不过点的直线与椭圆交于,两点,直线与直线交于两点.(1)求椭圆的离心率;(2)若垂直于轴,求直线的斜率;(3)试判断直线与直线的位置关系,并说明理由.2. 解析(1)椭圆即,离心率.(2)若垂直于轴,则所在的直线方程为,不妨设,.又,直线所在的方程为:,联立直线与直线的方程,得,故直线的斜率是1.(3)由(2)知,当垂直于轴时,直线的斜率为1,且,得,故直线与直线平行.若直线不垂直于轴时,直线与直线也保持平行的位置关系.下面
3、来进行验证,即验证.设,直线的方程为,令,得,要证明,只需证明,即, 联立直线与椭圆方程,消建立关于的一元二次方程得,.将式整理得将,代入上式的左边得:右边.因此,直线的斜率为1,说明直线与直线的位置关系是平行.3.(2015江苏18)如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且右焦点到直线(其中)的距离为(1)求椭圆的标准方程;(2)过的直线与椭圆交于两点,线段的垂直平分线分别交直线和于点,若,求直线的方程3. 解析 (1)由题意得,故,即,从而,故椭圆的标准方程为(2)解法一(正设斜率):若的斜率不存在时,则方程为,此时,易知此时,不满足题意;当的斜率为0时,此时亦不满足题意;因此斜率存在且不为0,不妨设斜率为,则方程,不妨设,联立直线与椭圆,即,因为点在椭圆内,故恒成立,所以,故,又,故,因为,故,即,即,整理得,即,即,解得,从而直线方程为或解法二(反设):由题意,直线的斜率必不为0,故设直线方程为,不妨设,与椭圆联立,整理得,因为点在椭圆内,故恒成立,故,因此,则点的纵坐标为,于是点的横坐标为,又,故,所以,因为可得,化简得,即,化简得,计算得,从而直线方程为或.2016
4、年1.(2016浙江文19)如图所示,设抛物线的焦点为,抛物线上的点到轴的距离等于.(1)求的值;(2)若直线交抛物线于另一点,过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点,与轴交于点.求的横坐标的取值范围.1.解析 (1)因为抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离,由已知条件得,即.(2)由(1)知抛物线的方程为,可设,.由题知不垂直于轴,可设直线,由消去得,故,所以.又直线的斜率为,故直线的斜率为,从而直线,直线,所以.设,由,三点共线得:,整理得,(,),此函数为偶函数,且和上单调递减,分析知或.所以点的横坐标的取值范围是.2.(2016全国乙文20)在直角坐标系中,直线交轴于点,交抛物线于点,关于点的对称点为,联结并延长交于点.(1)求;(2)除以外,直线与是否有其他公共点?请说明理由.2.解析 (1)如图所示,由题意不妨设,可知点的坐标分别为,从而可得直线的方程为,联立方程,解得,.即点的坐标为,从而由三角形相似可知.(2)由于,可得直线的方程为,整理得,联立方程,整理得,则,从而可知和只有一个公共点.2017年1.(2017全国1文20)设,为曲线上两点,与的横坐标之和为4.(
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