第十章第5节 直线与圆锥曲线

第十章 圆锥曲线第五节 直线与圆锥曲线题型126 直线与圆锥曲线的位置关系2013年1. (2013天津文18）设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为(1) 求椭圆的方程；(2) 设， 分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点若，求的值2.（2013山东文22）在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为（1）求椭圆的方程；（2），为椭圆上满足的面积为的任意两点，为线段的中点，射线 交椭圆于点，设，求实数的值3. (2013安徽文21）已知椭圆的焦距为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为.取点，连接，过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由.2014年1.（2014湖北文8）设是关于的方程的两个不等实根，则过，两点的直线与双曲线的公共点的个数为（ ）.A B C D2.（2014大纲文22）已知抛物线C：的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.（）求C的方程；（）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.2015年1.（2015安徽文20）设椭圆的方程为，点为坐标原点，点 的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为.（1）求的离心率； （2）设点的坐标为，为线段的中点，求证：.1. 分析（1）由且，可得.又因为的斜率为，所以，根据椭圆的性质，即可求出离心率；（2）由题意可知点的坐标为，所以，推出 ，即可证明结果.解析 （1）由，且，可得.又因为的斜率为，所以，则，即，亦即，得.（2）由题意可知点的坐标为，所以，所以，所以.2. (2015北京文20)已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于两点.（1）求椭圆的离心率；（2）若垂直于轴，求直线的斜率；（3）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由.2. 解析（1）椭圆即，离心率.（2）若垂直于轴，则所在的直线方程为，不妨设，.又，直线所在的方程为：，联立直线与直线的方程，得，故直线的斜率是1.（3）由（2）知，当垂直于轴时，直线的斜率为1，且，得，故直线与直线平行.若直线不垂直于轴时，直线与直线也保持平行的位置关系.下面来进行验证，即验证.设，直线的方程为，令，得，要证明，只需证明，即， 联立直线与椭圆方程，消建立关于的一元二次方程得，.将式整理得将，代入上式的左边得：右边.因此，直线的斜率为1，说明直线与直线的位置关系是平行.3.（2015江苏18）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到直线（其中）的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的方程3. 解析 （1）由题意得，故，即，从而，故椭圆的标准方程为（2）解法一（正设斜率）：若的斜率不存在时，则方程为，此时，易知此时，不满足题意；当的斜率为0时，此时亦不满足题意；因此斜率存在且不为0，不妨设斜率为，则方程，不妨设，联立直线与椭圆，即，因为点在椭圆内，故恒成立，所以，故，又，故，因为，故，即，即，整理得，即，即，解得，从而直线方程为或解法二（反设）：由题意，直线的斜率必不为0，故设直线方程为，不妨设，与椭圆联立，整理得，因为点在椭圆内，故恒成立，故，因此，则点的纵坐标为，于是点的横坐标为，又，故，所以，因为可得，化简得，即，化简得，计算得，从而直线方程为或.2016年1.（2016浙江文19）如图所示，设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于.（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点.求的横坐标的取值范围.1.解析 （1）因为抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，由已知条件得，即.（2）由（1）知抛物线的方程为，可设，.由题知不垂直于轴，可设直线，由消去得，故，所以.又直线的斜率为，故直线的斜率为，从而直线，直线，所以.设，由，三点共线得：，整理得，(，)，此函数为偶函数，且和上单调递减，分析知或.所以点的横坐标的取值范围是.2.（2016全国乙文20）在直角坐标系中，直线交轴于点，交抛物线于点，关于点的对称点为，联结并延长交于点.（1）求；（2）除以外，直线与是否有其他公共点？请说明理由.2.解析 （1）如图所示，由题意不妨设，可知点的坐标分别为，从而可得直线的方程为，联立方程，解得，.即点的坐标为，从而由三角形相似可知.（2）由于，可得直线的方程为，整理得，联立方程，整理得，则，从而可知和只有一个公共点.2017年1.（2017全国1文20）设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4.（1）求直线的斜率；（2）设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程.1.解析 （1）不妨设，则，即直线的斜率为（2）设，由的导函数知在处的切线斜率为，所以，故因为，易知的斜率存在且不为，因此，即 设直线的方程为，与抛物线联立得，所以，故，由根与系数的关系知，代入式得，解得，符合题意，因此直线的方程为评注 此题这一条件，也可以转化成向量数量积为，利用坐标的来解决，但用向量法计算得到或，注意联立后保证2.（2017江苏卷17）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的交点在椭圆上，求点的坐标2.解析 （1）设椭圆的半焦距为，由题意，解得，因此，所以椭圆的标准方程为（2）由（1）知，设，因为点为第一象限的点，故当时，与相交于，与题设不符当时，直线的斜率为，直线的斜率为因为，所以直线的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程为 直线的方程为 联立，解得，所以因为点在椭圆上，由对称性得，即或又点在椭圆上，故由，解得；由，无解因此点的坐标为题型127 弦长与面积及最值问题2013年1.（2013湖北文22） 如图，已知椭圆与 的中心坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，（），过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为记， 和的面积分别为和(1) 当直线与轴重合时，若，求的值；(2) 当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由第22题图 2. (2013重庆文21） 如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作 轴的垂线交椭圆于两点，.（1）求该椭圆的标准方程；（2）取平行于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外，求的面积的最大值，并写出对应圆的标准方程.3. (2013湖南文20）已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆 的一条直径的两个端点.（1）求圆的方程；（2）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，.当最大时，求直线的方程.2014年1（2014新课标文10）设为抛物线的焦点过且倾斜角为的直线交于两点则（ ）A B. C. D.2.（2014四川文10）已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）.A. B. C. D.3.（2014陕西文20）已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于A，B两点，与以为直径的圆交于两点，且满足求直线的方程.4.（2014湖南文20）如图所示，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.（1）求的方程；（2）是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.5.（2014四川文20）已知椭圆：的左焦点为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，.当四边形是平行四边形时，求四边形的面积.6.（2014山东文21）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点）. 点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点.（i）设直线的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；（ii）求面积的最大值.6. （2014浙江文22）已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，点为的中点，；（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.2015年1.（2015全国I文5）已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，的右焦点与抛物线的焦点重合，是的准线与的两个交点，则（ ）.A. 3 B. 6 C. 9 D. 121.B 解析 的焦点为，准线方程为.由得右焦点与的焦点重合，可得.又，得，所以椭圆方程为.当时，得，即.故选B.2.（2015全国I文16）已知是双曲线：的右焦点，是的左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 2. 解析 由题意作图，如图所示.由双曲线的定义知，.所以.又，所以，所以当点，在同一条直线上时，周长取得最小值.所在直线方程为，同理直线的方程为.联立，解得.则.又，所以.3.（2015湖南文20）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为，过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向.（1）求的方程；（2）若，求直线的斜率.3.解析 （1）由知其焦点的坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，所以； 又与的公共弦长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，所以， 联立得，故的方程为.（2）如图所示，设，因与同向，且，所以，从而，即，于是 设直线的斜率为，则的方程为，由得，由是这个方程的两根，由得，而是这个方程的两根， 将,代入，得.即所以，解得，即直线的斜率为.4.（2015天津文19）已知椭圆的