概率论完整第27讲

1、本章转入课程的第二局部本章转入课程的第二局部数理统计数理统计 数理统计的特点是应用面广，数理统计的特点是应用面广，分支较多分支较多.社会的开展不断向统计社会的开展不断向统计提出新的问题提出新的问题.计算机的诞生与开展，为数据处理计算机的诞生与开展，为数据处理提供了强有力的技术支持，数理统计与提供了强有力的技术支持，数理统计与计算机的结合是必然的开展趋势计算机的结合是必然的开展趋势.由于学时有限，课程的的这局部内由于学时有限，课程的的这局部内容重点在于介绍数理统计的一些重要概容重点在于介绍数理统计的一些重要概念和典型的统计方法，它们是实际中最念和典型的统计方法，它们是实际中最常用的知识常用的知识.学习统计无须把过多时间化在计算学习统计无须把过多时间化在计算上，可以更有效地把时间用在根本概念、上，可以更有效地把时间用在根本概念、方法原理的正确理解上方法原理的正确理解上.国内外著名的国内外著名的统计软件包：统计软件包：SAS，SPSS，STAT等，等，都可以让你快速、简便地进行数据处理都可以让你快速、简便地进行数据处理和分析和分析.配合教学编制的教学软件配合教学编制的教学软件“数理统数理统计

2、教学系统，可使你根据自己的进度，计教学系统，可使你根据自己的进度，在计算机上进行学习在计算机上进行学习.从历史的典籍中，人们不难发现许从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工记载，说明人们很早就开始了统计的工作作.但是当时的统计，只是对有关事实但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断的推断.到了十九世纪末二十世纪初，随到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的开展，才真正着近代数学和概率论的开展，才真正诞生了数理统计学这门学科诞生了数理统计学这门学科.数理统计学是一门应用性很强的学数理统计学是一门应用性很强的学科科.它是研究怎样以它是研究怎样以有效的方式有效的方式收集、收集、整理和分析整理和分析带有随机性的数据带有随机性的数据，以便对，以便对所考察的问题作出推断和预测，直至为所考察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议采取一定的决策和行

3、动提供依据和建议.数理统计不同于一般的资料统计，它数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析资料的收集、整理和分析.由于大量随机现象必然呈现出它的规由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够屡次观察，被研究的随机现象的进行足够屡次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来规律性一定能清楚地呈现出来.只允许我们对随机现象进行次数不多的观只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，也就是说察试验，也就是说,我们获得的只是局部我们获得的只是局部观察资料观察资料.但客观上但客观上 数理统计的任务就是研究怎样有效数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的地收集、整理、分析所获得的有限有限的资的资料，对所研究的问题料，对所研究的问题,尽可能地作出精尽可能地作出精确而可靠的结论确而可靠的结论.由于推断是基于抽样数据，抽样数由于推断是基于抽样数据，抽样数据又不能包括研究对象的全部信息据又不能包括研究对象的全部信息.因因而由此获得

4、的结论必然包含不肯定性而由此获得的结论必然包含不肯定性.在数理统计中，不是对所研究的对在数理统计中，不是对所研究的对象全体象全体(称为总体称为总体)进行观察，而是抽取进行观察，而是抽取其中的局部其中的局部(称为样本称为样本)进行观察获得数进行观察获得数据抽样，并通过这些数据对总体进据抽样，并通过这些数据对总体进行推断行推断.下面我们以一例进行说明：下面我们以一例进行说明：某种子公司某种子公司A，栽种了几种类别的，栽种了几种类别的 鲜鲜花，收获了大量的花籽，并把每花，收获了大量的花籽，并把每25粒花粒花籽扎成一小包出售籽扎成一小包出售.一个零售商批发了一个零售商批发了假设干包，并向顾客保证：在每包假设干包，并向顾客保证：在每包25粒粒花籽中至少有花籽中至少有22粒将能发芽，否那么的粒将能发芽，否那么的话可免费调换另一包话可免费调换另一包.每包要是有每包要是有3粒不粒不发芽，马上免费退换！发芽，马上免费退换！每包每包25粒粒每包每包25粒中粒中至少有至少有22粒将粒将发芽发芽所有的包都所有的包都如此吗？如此吗？这这种种类类型型的的不不肯肯定定性性，即即不不知知道道种种子子公公司司出出售售的

5、的小小包包中中可可接接受受的的比比例例，它它是是由由于于对对总总体体的的真真实实状状态态天天然然状状态态无无知所引起的不肯定性知所引起的不肯定性.零售商面临如下两种类型的不肯定性：零售商面临如下两种类型的不肯定性：(1)他他对对种种子子公公司司出出售售的的小小包包中中可可接接受受（即即至至少少有有22粒粒花花籽籽将将发发芽芽）的的包包数数所所占占比比例例 是是不清楚的不清楚的.这是第一类不肯定性这是第一类不肯定性.(2)由于种子公司出售的花籽的货单上，这类由于种子公司出售的花籽的货单上，这类花籽共有一百万包，而零售商只购置了花籽共有一百万包，而零售商只购置了200包，包，那些包是可那些包是可接受的呢？接受的呢？这就是尽管他知道了一百这就是尽管他知道了一百万包可接受的比例万包可接受的比例 ，但对他所购买的但对他所购买的200包，其包，其中可接受的比例仍旧没有中可接受的比例仍旧没有“把握把握”.从中购买从中购买200包包共共100万包万包因此他又面临着另一类不肯定性；因此他又面临着另一类不肯定性；零售商购置的零售商购置的200包仍有可能包仍有可能“碰巧是碰巧是从不可接受的一万包中选取的从不

6、可接受的一万包中选取的.那些包是可那些包是可接受的呢？接受的呢？即使即使 是是0.99，即种子，即种子公司出售的一百万包中公司出售的一百万包中有有99万包是可接受的，万包是可接受的，这样他就要损失一笔资金这样他就要损失一笔资金.从中购买从中购买200包包共共100万包万包 这这一一类类不不肯肯定定性性是是由由于于“随随机机性性所所引起的引起的.在已知在已知 的条件下，这种不肯定性的条件下，这种不肯定性的程度已在概率论部分作过讨论的程度已在概率论部分作过讨论.下面我们回到第一类不肯定性：下面我们回到第一类不肯定性：零零售售商商对对种种子子公公司司出出售售的的小小包包中中可可接接受受（即即至至少少有有22粒粒花花籽籽将将发发芽芽）的的包包数数所所占占比例比例 是多少没有把握是多少没有把握.零售商能够根据试验的方法请公司进零售商能够根据试验的方法请公司进行发芽试验来改善他的处境行发芽试验来改善他的处境.根据试验他能作出天然根据试验他能作出天然状况状况 是多少的决策是多少的决策.这就是抽取部分种籽进行发芽试验，通过这这就是抽取部分种籽进行发芽试验，通过这部分中发芽数所占比例（频率部分中发芽数所

7、占比例（频率)来对来对 的真的真值进行推断值进行推断.(1)怎样设计试验，决定观察的数目；怎样设计试验，决定观察的数目；(2)怎样利用试验观察的结果作出一个怎样利用试验观察的结果作出一个“好好的推断等的推断等.这都是数理统计所要研究的问题这都是数理统计所要研究的问题.虽虽然然他他不不能能精精确确地地和和肯肯定定地地确确定定 ，但但可可以以期期望望获获得得一一个个（在在某某种种意意义义下下）比比较较好的推断好的推断.这就涉及到这就涉及到 第一个问题是怎样进行抽样，使抽得的第一个问题是怎样进行抽样，使抽得的样本更合理样本更合理,并有更好的代表性？这是抽样方并有更好的代表性？这是抽样方法和试验设计问题：最简单易行的是进行随法和试验设计问题：最简单易行的是进行随机抽样机抽样.第二个问题是怎样从取得的样本去推断第二个问题是怎样从取得的样本去推断总体？这种推断具有多大的可靠性？总体？这种推断具有多大的可靠性？这是这是统计推断统计推断问题问题.本课程着重讨论第二个问题本课程着重讨论第二个问题,即最常用统计即最常用统计推断方法推断方法.概率论是数理统计的根底，而数理统概率论是数理统计的根底，而数理统计

8、是概率论的重要应用计是概率论的重要应用.但它们是并列的但它们是并列的两个学科，并无附属关系两个学科，并无附属关系.可见，在数理统计中必然要用到概率论可见，在数理统计中必然要用到概率论的理论和方法的理论和方法.因为随机抽样的结果带有随因为随机抽样的结果带有随机性，不能不把它当作随机现象来处理机性，不能不把它当作随机现象来处理.由此也可以说，由此也可以说，统计方法具有统计方法具有“局部推断整体的特征局部推断整体的特征.在结束本节之前，我们需要强调说明一点：在结束本节之前，我们需要强调说明一点：因为我们是从一小局部样本观察值去因为我们是从一小局部样本观察值去推断该全体对象总体情况，即由局部推断该全体对象总体情况，即由局部推断全体推断全体.这里使用的推理方法是这里使用的推理方法是“归纳推归纳推理理.这种归纳推理不同于数学中的这种归纳推理不同于数学中的“演绎推理，演绎推理，它在作出结论时，是根据所观察到的它在作出结论时，是根据所观察到的大量个别情况，大量个别情况，“归纳起来所得，而不归纳起来所得，而不是从一些假设、命题、的事实等出发，按是从一些假设、命题、的事实等出发，按一定的逻辑推理去得出来的

9、一定的逻辑推理去得出来的.例如，在几何学中要证明例如，在几何学中要证明“等腰等腰三角形底角相等只须从三角形底角相等只须从“等腰这等腰这个前提出发，运用几何公理，一步一个前提出发，运用几何公理，一步一步推出这个结论步推出这个结论.而一个习惯于统计思想的人，就而一个习惯于统计思想的人，就可能想出这样的方法：做很多大小形可能想出这样的方法：做很多大小形状不一的等腰三角形，实地测量其底状不一的等腰三角形，实地测量其底角，看差距如何，根据所得资料看看角，看差距如何，根据所得资料看看可否作出可否作出“底角相等的结论底角相等的结论.这样做这样做就是归纳式的方法就是归纳式的方法.现在要问：从局部观察要对总体下结论现在要问：从局部观察要对总体下结论有没有片面性呢？结论是否可靠？有没有片面性呢？结论是否可靠？显然这里不仅依赖于进行局部观察的显然这里不仅依赖于进行局部观察的“样本是否具有总体的代表性，也依赖于对样本是否具有总体的代表性，也依赖于对从这些样本得到数据的合理加工、分析并得从这些样本得到数据的合理加工、分析并得出论断出论断.我我们们说说，如如果果这这一一切切都都建建立立在在可可靠靠的的科科学学根根

10、底底上上，那那么么对对总总体体下下结结论论是是可可能能的的也也是是可可靠靠的的.因因为为这这里里存存在在着着样样品品随随机机抽抽取取的的一一个个个个体体个个性性(特特殊殊性性)和和总总体体共共性性(普普遍遍性性)之之间间的的一一种种内内在在的的、对对立立统统一一的辩证关系的辩证关系.“每一事物内部不但包括了矛盾的特每一事物内部不但包括了矛盾的特殊性，而且包含了矛盾的普遍性，普遍殊性，而且包含了矛盾的普遍性，普遍性即存在于特殊性之中性即存在于特殊性之中.”矛盾论矛盾论毛泽东毛泽东 我们对每个经过合理手续选取的一个我们对每个经过合理手续选取的一个样品也应看到它所具有的两重性：样品也应看到它所具有的两重性：一方面它具有特殊性，因为它毕竟是一方面它具有特殊性，因为它毕竟是个别观察值，不能反映总体的全面性质，个别观察值，不能反映总体的全面性质，有片面性有片面性.因而统计上往往不采用由一次抽取因而统计上往往不采用由一次抽取的样品来下结论的样品来下结论.在这个根底上再加上科学的推断方法，在这个根底上再加上科学的推断方法，对总体下的结论同样也是可靠的对总体下的结论同样也是可靠的.另一方面也要看到另一方

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