高数数学极限总结
10页1、函数极限总结一.极限的产生极限理论是研究关于极限的严格定义、 基本性质和判别准则等问题的基础理 论。极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期,但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的无穷算数中,牛顿在其自然哲学的数学原理 一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶,达朗贝尔等人才认识到,把微积分建立在极限概念的基础之上,微积分才是完善的,柯西最先给出了极限的描述性定义,之后,魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义(e - 6和e -N定义)。从此,各种极限问题才有了切实可行的判别准则,使极限理论成为了微积分的工具和基础。1二.极限知识点总结1.极限定义函数极限:设函数f(x)在点的X0某一去心邻域内有定义,如果存在常数 A, 对于任意给定的正数e (无论它多么小),总存在正数 ,使得当X满足不等式 0 |X-X0| 时,对应的函数值 都满足不等式:|f(x) A|那么常数A就叫做函数f(x)当X-X0时的极限,记作lim f(x) A。2X X0单侧极限:左极限:lim f(x)人或J)a(x 左).X X.右极限:lim f(x)人或“*) a(x 右) X X定理
2、:lim f(x) A f(x) f(x ) A X X0lim f(x) f(Xo) f(Xo) f(Xo) f(Xo)X X0函数f (X)当X X0时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等即 f(X0) f(X0) lim f(x)o X X02 .极限概念函数极限可以分成X , X ,X , X X0以XX0的极限为例,f(x)在点X0以A为极限的定义是:对于任意给定的正数e (无论它多么小),总存 在正数6 ,使得当X满足不等式 |工一勾|时,对应的函数值f(x)都满足不等式:|f(x)-A| ,那么常数A就叫做函数f(x)当x-x。时的极限。函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性 23 .存在准则有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得,需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。准则I .如果数列xn , yn及Zn满足以下条件:(1)从某项起,即no N ,当n n0时,有yn xn Zn ; lim yn a ; lim Zn a, xx那么数列xn的极限存在,且lim xn a x准则 J 如果(1)当 x U(x0,r)(或 |x| M
3、 )时,g(x) f(x) h(x) limg(x) A lim h(x) A(2) x x0, x Xo)(x )(x )那么Um 刈存在,且等于Ao (x )夹逼定理:(1)当x U(x0,r)时,有4 f (工刍跳卧 成立(2)仪幻一劭=劭=4 ,那么,f xo极限存在,且等于A【准则I ,准则I 合称夹逼定理】准则n:单调有界数列必有极限准则IT :设函数f(x)在点Xo的某个左(右)邻域内单调并且有界,则f(x)在X0的左(右)极限f(x ) f x 必定存在3单调有界准则:单调增加(减少)有上(下)界的数列必定收敛。柯西准则:数列收敛的充分必要条件是任给o ,存在N(),使得当n N ,m N时,有| Xm| 成立。2极限运算相关法则、定理及推论(1) .设a、B为同一极限过程下的无穷小0 (无穷小)(2) .穷小之积为无穷小?0 (无穷小)推论:.常数与无穷小之积为无穷小 .有限个无穷小之积为无穷小(3) .有界函数与无穷小之积为无穷小u? 0(4) .函数极限运算法则定理:设 limf(x) 0 , limg(x) B 则lim f(x) g(x) lim f (x)
4、lim g (x) A Blim f(x)lim g(x)lim f(x) ?g(x) lim f(x)?lim g(x) A?Bf(x)若 B 0 ,则 f(x)lim (1 f (x) e常用等价无穷小:当 x 0 时,x sin x tan x arctanx arctan x ln(1 x) 【说明】分子分母有理化求极限,是通过有理化去除无理式1m g(x)推论1.如果lim f(x)存在,而c为常数那么lim cf(x) clim f (x)推论 2. f(x) A n N 则 lim f(x)n lim f (x) n定理(复合函数求极限法则)设函数y f g(x)是由函数u g(x)与函数y f(u)复合而成,f g(x)在点 x Bo 0)时,有g(x) a,则则 fg(x)阿 fu a。X0的某去心邻域内有定义,Hx ouX g m. Hx 若(5) s ssin x两个重要极限:.lim 丁 i1 V.lim (1 一)x e 即若 lim f(x) 0(f(x) 0),xx2例 1. hm(8x 3x 1)【解】lim 8x2 3x 1lxm 8x228lim x
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