高数数学极限总结

函数极限总结一.极限的产生极限理论是研究关于极限的严格定义、 基本性质和判别准则等问题的基础理 论。极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的无穷算数中，牛顿在其自然哲学的数学原理 一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义(e - 6和e -N定义)。从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。1二.极限知识点总结1.极限定义函数极限：设函数f(x)在点的X0某一去心邻域内有定义，如果存在常数 A, 对于任意给定的正数e (无论它多么小)，总存在正数 ，使得当X满足不等式 0 |X-X0| 时，对应的函数值 都满足不等式：|f(x) A|那么常数A就叫做函数f(x)当X-X0时的极限，记作lim f(x) A。2X X0单侧极限：左极限：lim f(x)人或£J)a(x 左).X X.右极限：lim f(x)人或“*) a(x 右) X X定理：lim f(x) A f(x) f(x ) A X X0lim f(x) f(Xo) f(Xo) f(Xo) f(Xo)X X0函数f (X)当X X0时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等即 f(X0) f(X0) lim f(x)o X X02 .极限概念函数极限可以分成X , X ,X , X X0以XX0的极限为例，f(x)在点X0以A为极限的定义是：对于任意给定的正数e (无论它多么小)，总存 在正数6 ,使得当X满足不等式° < |工一勾|时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<£ ,那么常数A就叫做函数f(x)当x-x。时的极限。函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性 23 .存在准则有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。准则I .如果数列xn , yn及Zn满足以下条件：(1)从某项起，即no N ,当n n0时，有yn xn Zn ； lim yn a ； lim Zn a, xx那么数列xn的极限存在，且lim xn a x准则 J 如果(1)当 x U(x0,r)(或 |x| M )时，g(x) f(x) h(x) limg(x) A lim h(x) A(2) x x0, x Xo)(x )(x )那么Um "刈存在，且等于Ao (x )夹逼定理：(1)当x U(x0,r)时，有4 f (工刍跳卧 成立(2)仪幻一劭=劭=4 ，那么，f xo极限存在，且等于A【准则I ,准则I '合称夹逼定理】准则n：单调有界数列必有极限准则IT :设函数f(x)在点Xo的某个左(右)邻域内单调并且有界，则f(x)在X0的左(右)极限f(x ) f x 必定存在3单调有界准则：单调增加(减少)有上(下)界的数列必定收敛。柯西准则：数列收敛的充分必要条件是任给o ,存在N(),使得当n N ,m N时，有| Xm| 成立。2极限运算相关法则、定理及推论(1) .设a、B为同一极限过程下的无穷小0 (无穷小)(2) .穷小之积为无穷小?0 (无穷小)推论：.常数与无穷小之积为无穷小 .有限个无穷小之积为无穷小(3) .有界函数与无穷小之积为无穷小u? 0(4) .函数极限运算法则定理：设 limf(x) 0 , limg(x) B 则lim f(x) g(x) lim f (x) lim g (x) A Blim f(x)lim g(x)lim f(x) ?g(x) lim f(x)?lim g(x) A?Bf(x)若 B 0 ,则 f(x)lim (1 f (x) e常用等价无穷小：当 x 0 时，x sin x tan x arctanx arctan x ln(1 x) 【说明】分子分母有理化求极限，是通过有理化去除无理式1m g(x)推论1.如果lim f(x)存在，而c为常数那么lim cf(x) clim f (x)推论 2. f(x) A n N 则 lim f(x)n lim f (x) n定理(复合函数求极限法则)设函数y f g(x)是由函数u g(x)与函数y f(u)复合而成，f g(x)在点 x Bo 0)时，有g(x) a，则则 fg(x)阿 fu a。X0的某去心邻域内有定义,Hx ouX g m. Hx 若(5) s ssin x两个重要极限：.lim 丁 i1 V.lim (1 一)x e 即若 lim f(x) 0(f(x) 0),xx2例 1. hm(8x 3x 1)【解】lim 8x2 3x 1lxm 8x228lim xx 1X1 I1lim 3x lim 1x 1x 13lim x 1x 128 lim xx 16(2)约零因子求极限例2.求极限lim【说明】x-1表明x与1无限接近，但x 1。所以x-1这一零因子可以约去。【解】lim (x 1)(： 1) lim (x 1)(x2 1) 4(3)分子分母同除求极限(公式法)32例3.求极限lim V【说明】一型且分子分母都以多项式给出的极限， 可通过分子分母同除来求。x3 x2【解】lim 377 x 3x 11 1lim 1x 33x【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方man n mbnnn 1anx an 1xao(2)lim . m , m 1.'x'm bmx bm 1xbo 分子(分母)有理化求极限例 4.求极限m (Jx2 3 &_7)x【解】,lim ( x2 3 x2 x1) limxx2 1)x2 32lxim b 3 x2 1tan x 11 sin x-3 x【解】llmi、tan x 1 v sin x 1.tan x sin xx311m x3. tan x 1 x sin x 11tan x sin x3 X1x tan x 1tan x sin x2llmx3sinx 111mx314【注】的关键。本题除使用分子有理化方法外，及时 分离极限式中的非零因子 是解题(5)应用两个重要极限求极限【说明】两个重要极限是iim x 0sin x一11 和 lim(1 -)xxx例6.求极限iim 土x x-1【说明】用第二个重要极限时主要搞清楚步骤：先凑出1,x 1lim x 1x x - 1指数部分。【解】21lim1 x1lim1 x1xxIxx(6)用等价无穷小两代换求极限【说明】(1 )常见的等价无穷小有：当 x-0 时，x=sinx=tanx=arcsinx=arctanx=ln(1+x ) =ex-1 ,xabx, a 1 xlna (a 0,a 1),12、b1-cosx= -x , (1 ax)b 2n/r x0 n例9.求极限1imx 02、1n cos2x 1n(1 sin x)(2)等价无穷小量代换，只能代换极限式中的m；【说明】一和9型的极限，可通过洛必达法则来求。0【解】1imx 02、1n cos2x 1n(1 sin x)2xsin 2x 21imx 02sin 2x sin 2x 2cosx 1 sin x 2x11m 2x cos2x11 sin2 x【注】有许多变动上限的积分表示的极限，常用洛必达法则求解。x0(x t)(t)dt 例10.设函数f(x)连续，且f(0) 0 ,求极限11mx0f(u)du ,于是x 0 x 0 f (x t)dtxf(u)du xf (x)0 t u 0f(x t)dt f (u)( du) 0x11mx0(x t)(t)d(t)xx f (x t)dt 0xxx f(t)dttf (t)d(t)00则xxf(u)du011mxf (t)dt xf (x) xf (x) 0xf (t)dt01ixm0xf(u)du xf (x)0x dt01imx 0f(0) .1f(0) f(0)2f(x)(8)用对数恒等式求1im f(x)g(x)极限2X)11moX例11.求极限2【解】1冲1 ln 1 x x2一 1 ln 1 x x2 1 In 1 x lxml e21n(1 x)limx 0 x2e e【注】对于1形势的未定式lim f(x)g(x),也可用公式lim f(x)g(x)11im f (x) 1g(x) e因为 limf (x)g(x)e11mg(x)1nf(x)lim g(x)1n(1 f (x) 1) 1img(x)(f(x) 1) ee1x例12.求极限11m /中【解11原式二lixmOxlne2 cosx-3lixmO,2 cosxln 3 2 x1/i、ln 2 cosxlixmOx2-ln32 cos( Sinx)一 lixmO 2x一11 sin x12lixm0 2 cosx? x6【解2】原式=2 cosx2 cosx 4xln -3ln e 313lixmO x3limo x2,( cosx 1 ln 13cosx 11lxmx2呵3x=6四.参考文献1极限理论https:/baike.baidu.com/item/%E6%9E%81%E9%99%90%E7%90 %86%E8%AE%BA/5081808?fr=aladdin 2017.11.242函数极限 https:/baike.baidu.com/item/ 函数极限/727083?fr=aladdin 2017.11.243同济大数学系高等数学第七版上册北京高等教育出版社1987 年4来自QQS间 由大学生笔记墙整理2n11 x n , ex 1 x , 1 - cosx 2 , (1 ax)b abxax 1 xln a (a 0, a1)计算极限方法总结(1)直接带入求极限2(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例7.求极限lim x1-1刈xm 1 - cosx【解】x1n(1 x) x?xlxm 1 cosxl