2025版高考数学总复习第7章立体几何第6讲空间的角与距离第1课时空间的角和距离问题提能训练

1、第6讲 空间的角与距离 第1课时 空间的角和距离问题A组基础巩固一、单选题1. (2024陕西部分学校联考)如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D，E分别为SO，SB的中点，OCAB，SOAB4，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为( C )A. BC. D解析解法一：以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(2,0,0)，A(0,2,0)，D(0,0,2)，E(0，1,2)，(0，2,2)，(2，1，2)，cos，.解法二：取OA的中点F，连接EF、CF、DE，由D、E分别为OS、BS的中点知ED綉OB綉OA綉AF，EFAD，CEF即为AD与CE所成的角又EF2，CF，CE3，cosCEF.故选C.2(2023陕西西安西北工大附中模拟)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱C1C、B1B的中点，G为棱BC上一点，且BG(02)，则点G到平面D1EF的距离为( C )A. BC. D解析解法一(定义法)：由题意易知平面A1FED1平面ABB1A1，G到平面D1EF的距离等于B到平面A1FED1的距离，作BHA1F交A1F于H，则BH平面D1EF，

2、且BHsin HFBsin B1FA1.故选C.解法二(等体积法)：E、F分别为CC1、BB1的中点，BCEF，从而BC平面D1EF，G到平面D1EF的距离即为B到平面D1EF的距离d.由VBD1EFVD1EFB知SEFBCD1SEFD1d.d.故选C.解法三(向量法)：如图建立空间直角坐标系，由题意易知平面D1EF的法向量为n(0,1,2)，(2,0,1)，G到平面D1EF的距离为d.故选C.3(2024河南许昌中学定位考试)如图，在正三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，E，F分别是AB，BC的中点，则直线AF与平面PEF所成角的正弦值为( A )A. BC. D解析解法一：设PAPBPC2，则AF，VFPAEVPABC.又PFPEEF，SPEF，设A到平面PEF的距离为d，则d，d.记AF与平面PEF所成角为，则sin .故选A.解法二：因为PA，PB，PC两两垂直，所以以P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系设PAPBPC2，则P(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，E(1,1,0)，F(0,1

3、,1)，所以(2,1,1)，(1,1,0)，(0,1,1)设平面PEF的法向量为n(x，y，z)，则取x1，则y1，z1，所以平面PEF的一个法向量为n(1，1,1)设直线AF与平面PEF所成的角为，则sin |cos，n|.故选A.4.如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，APAB1，则下列说法不正确的是( C )A异面直线PB与AC所成的角为60B直线PD与平面PAC所成的角为30C平面PBD与平面PAB的夹角为30D点C到平面PBD的距离为解析如图建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，(1,0，1)，(1,1,0)，记PB与AC所成角为，则cos ，60，A正确；设ACBDO，由BDAC，BDPA知DO平面PAC，DPO为PD与平面PAC所成的角，由sinDPO知DPO30，B正确；取PB的中点H，连接AH、DH，则AHPB，DHPB，DHA为平面PBD与平面PAB所成二面角的平面角，tanDHA，DHA30，C错误；由VPBCDVCPBD易求得C到平面PBD的距离为，D正确故选C.5

4、(2024辽宁十校联合体调研)正四面体ABCD中，在ABC内有一个动点M，满足M到底面BCD的距离等于|MA|的倍，则动点M的轨迹形状为( D )A一段圆弧 B椭圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部分解析设O是BCD的中心，则AO平面BCD，设E是BC的中点，则E，O，D三点共线，且DEBC，设正四面体的边长为a，则AEDEa，OEaa，所以AOa，由于AEBC，DEBC，所以AED是二面角ABCD的平面角，设二面角ABCD的平面角为，则sin .过M作MG平面BCD，垂足为G；过M作MFBC，垂足为F，连接FG，则MFG，又依题意，|MG|MA|，所以|MF|sin |MA|，即|MF|MA|，即M到定点A和到定直线BC的距离相等，所以M点的轨迹是抛物线的一部分故选D.二、多选题6(2024山东济南、潍坊、淄博部分学校联测)已知两个平面，及两条直线l，m，则下列命题正确的是( ABD )A若，l，m，lm，则lB若l，m，则lmC若l，m，m，l，则D若l，m是异面直线，l，l，m，m，则解析对于A，若，l，m，lm，根据面面垂直的性质定理可得l，A正确；对于B，若l，则l，又

5、m，则lm，B正确；对于C，若l，m，m，l，则与可以相交或平行，C错误；对于D，因为m，m，所以存在直线m，mm，因为l，m是异面直线，所以l与m相交，因为mm，m，m，所以m，又因为l，l，所以，D正确故选ABD.7正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是( BC )A.B1GBCB平面AEF平面AA1D1DAD1CA1H平面AEFD二面角EAFC的大小为解析如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则(2，1，2)，(2,0,0)，40，A错误；显然平面AEF与平面AA1D1D的交线过A且平行于EF，即为AD1，B正确；由题意知HE綉B1C1綉A1D1，A1HD1E，D1E平面AEF，A1H平面AEF，A1H平面AEF，C正确；(1,2,0)，(1,0,1)，设平面AEF的法向量为n(a，b，c)，则令a2得n(2,1,2)，又平面AFC的一个法向量为m(0,0,1)，记二面角EAFC的大小为，则cos ，D错误故选BC.8(2024河南阶段测试)如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体EABCDF，且该八面体的各

6、棱长均相等，则( ABC )A异面直线AE与BC所成的角为60BBDCEC平面ABF平面CDED直线AE与平面BDE所成的角为60解析因为BCAD，所以EAD(或其补角)即为异面直线AE与BC所成的角，又ADDEAE，所以EAD60，即异面直线AE与BC所成的角为60，A正确；连接AC交BD于点O，则点O为正方形ABCD的中心，连接EF，根据正棱锥的性质可知EF必过点O，且OE平面ABCD，所以OEBD，又BDAC，OEACO，OE，AC平面ACE，所以BD平面ACE，又CE平面ACE，所以BDCE，B正确；由对称性可知OEOF，OAOC，所以四边形AFCE为平行四边形，所以AFCE，又AF平面CDE，CE平面CDE，所以AF平面CDE，同理BF平面CDE，又AFBFF，AF，BF平面ABF，所以平面ABF平面CDE，C正确；由AEAF，OEOF，得AOEF，在正方形ABCD中，AOBD，又BDEFO，所以AO平面BEDF，所以AEO即为直线AE与平面BDE所成的角，设该八面体的棱长为2，则AOAC，所以EOAO，所以 AEO45，D错误故选ABC.9(2024广东广州越秀区联考)已知

7、三棱锥PABC中，PAPBPC2，平面PAC平面ABC，APC120，点D为AB中点，PD与平面ABC所成的角为45，则( AC )ABCABB点C到平面PAB的距离为C三棱锥的侧面积为22DAP与BC所成角为30解析取AC的中点O.PAPBPC2.POAC，又平面PAC平面ABC，PO平面ABC，且APO60，PDO45，AC2AO2，ODOP1，又D为AB的中点，BC2OD2，又AOBOCO，ABBC，A正确；AB2，设C到平面PAB的距离为d.则由VPABCVCPAB可求得d，B错误；S侧SPABSPBCSPAC222，C正确；如图建立空间直角坐标系，则A(0,2，0)，C(2,0,0)，P(1，1)，B(0,0,0)，(1，1)，(2,0,0)，记AP与BC所成角为，则cos ，又，.D错误，故选AC.10(2024山东潍坊检测)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱AD上的动点，则( ABD )AA1BPC1B直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30C有且仅有一个点P，使得BP平面CC1PD三棱锥BPCC1的体积是定值解析由A1BAD，A1BAB1知A1B平面AB1C1

8、D，又PC1平面AB1C1D，A1BPC1，A正确；连接A1C1，设A1C1B1D1O，由A1C1B1D1，A1C1BB1知C1O平面BB1D1D，C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，又OC1BC1，C1BO30，B正确；若BP平面CC1P，则BPCP，而以BC为直径的圆与AD相离，故这样的点P不存在，C错误；由AD平面BCC1知动点P到平面BCC1的距离为定值，又SBCC1为定值，VBPCC1为定值，D正确故选ABD.三、填空题11(2024辽宁重点高中沈阳市郊联体月考)长为4的线段AB的两端点在直二面角l的两个面内，且与这两个面都成30角，则异面直线AB与l所成的角为 .解析如图AHl于H，由，知AH，ABH30，又AB4，AH2，BQl于Q，同理BQ2，作BM綉HQ，连接AM，则ABM为直线AB与l所成的角，由MH綉BQ知MHl，l平面AMH，从而BM平面AMH，BMAM，且AM2，sinABM.故ABM.12(2024湖南名校联考联合体联考)已知空间中A，B，C三个点的坐标分别为(0,1,2)，(1,1,0)，(2,0,2)，则C到直线AB的距离为 .解析(1,0，2)，(2，1,0)，则C到直线AB的距离为|.13.如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，ABC，则折后直线AC与平面OEF所成角的正弦值为 .解析以O为原点，OB，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，AB为两个单位长度， 建立如图所示的空间直角坐标系，设菱形边长为2，则D(0,0,1)，E，F，

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