高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.2.2 直线与双曲线的位置关系训练案 北师大版选修21

1、3.3.2.2 直线与双曲线的位置关系A.基础达标1直线ykx2与双曲线x2y22有且只有一个交点，那么k的值是()A1BC1， D解析：选C.把ykx2代入x2y22，整理得，(1k2)x24kx60.当1k20，即k1时，ykx2与双曲线渐近线平行，满足要求当1k20时，当ykx2与x2y22相切时，满足要求，即0，得k.综上可知，满足条件的k的值为1，.2已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，E的方程为1(a0，b0)，则得0，因为x1x224，y1y230，1，所以4b25a2，又因为c3，所以a2，b，故E的方程为1.3已知双曲线的方程为1(a0，b0)，过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段F1P，则双曲线的离心率为()A. B.1C. D2解析：选A.由题意得P的横坐标为c，由1得y，即P(c，)，kF1P得e.4已知双曲线1(a0，b0)，若过右焦点F且倾斜角为30的直

2、线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A(1，2) B(1，)C2，) D，)解析：选B.双曲线1的渐近线为yx，由题意得，0tan 30，即.又因为e1，所以e(1，)5已知直线yx与双曲线1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPAkPB()A. B.C. D与P点位置有关解析：选A.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由得y2，则y1y20，y1y2，x1x20，x1x24.由于kPAkPB，即kPAkPB为定值，故选A.6双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2.给定四条直线：5x3y0；xy40；5x3y520；4x3y150.如果上述直线上存在点P，使|PF2|PF1|6，则满足这样条件的直线对应的序号是_解析：由1，所以a29，b216，所以c225，c5，由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足610.当直线上存在点P满足|PF2|PF1|6时，说明直线与双曲线的左支有公共点由已知双曲线的渐近线方程为yx，对于两直线的斜率均为，故均与双曲线左支无公共点，经验证表示的直线与双曲线

3、有交点答案：7直线l与双曲线y21相交同一支于A，B两点，线段AB的中点在直线y2x上，则直线AB的斜率为_解析：设l的方程为ykxb，由消去y得：(12k2)x24kbx2b220.因为l与双曲线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故8b2816k20，12k20，由根与系数的关系知：x1x2，则y1y2k(x1x2)2b.因为线段AB的中点在直线y2x上，所以有，得k，满足式当直线l的斜率不存在时，不符合题意答案：8已知双曲线C：1(a0，b0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点，且3，则双曲线离心率的最小值为_解析：因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点且3，故直线与双曲线相交只能是如图所示的情况，即A点在双曲线的左支，B点在右支，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c，0)，因为3，所以cx13(cx2)，3x2x12c，由图可知，x1a，x2a，所以x1a，3x23a，故3x2x14a，即2c4a，2，即e2，所以离心率的最小值为2.答案：29已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为4，且经过点.(1)求双曲线C的方程和其渐近

4、线方程；(2)若直线l：ykx2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的k的取值解：(1)由题意可知：双曲线的焦点为(2，0)和(2，0)，根据定义有2a|2，所以a1，由以上可知：a21，c24，b23.所以所求双曲线C的方程为x21.渐近线方程为yx.(2)由得(3k2)x24kx70.当3k20即k时，此时直线l与双曲线相交于一个公共点，符合题意；当3k20即k时，由0得k，此时直线l与双曲线相切于一个公共点，符合题意，综上所述：符合题意的k的所有取值为，.10已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围解：(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知得a，c2，再由a2b222，得b21.故双曲线C的方程为y21.(2)将ykx代入y21得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线交于不同的两点得即k2且k22得xAxByAyB2，而xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)k2.于是2，即0

5、，解此不等式得k23.(*)由(*)(*)得k21.故k的取值范围为(1，)(，1)B.能力提升1已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A.由题意得：2，左焦点为(c，0)在y2x10上，得c5，a，b2.故双曲线的标准方程为1.2设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30且小于等于60，即tan 30tan 60，所以3.又e21，所以e24，所以0，b0)的渐近线方程为yx，O为坐标原点，点M(，)在双曲线上(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且0，求|OP|2|OQ|2的最小值解：(1)双曲线C的渐近线方程

6、为yx，所以b23a2，双曲线的方程可设为3x2y23a2.因为点M(，)在双曲线上，可解得a24，所以双曲线C的方程为1.(2)设直线PQ的方程为ykxm，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为(3k2)x22kmxm2120，所以x1x2，x1x2.由0x1x2y1y20，即(1k2)x1x2km(x1x2)m20，所以(1k2)kmm20，化简得m26k26，|OP|2|OQ|2|PQ|2(1k2)(x1x2)24x1x224.当k0时，|PQ|22424成立，且满足，又因为当直线PQ垂直于x轴时，|PQ|224，所以|OP|2|OQ|2的最小值是24.6(选做题)已知双曲线C：1(a0，b0)，如图，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足：|，|，|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.(1)求证：；(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E，D，求双曲线离心率e的取值范围解：(1)证明：双曲线的渐近线为yx，F(c，0)，所以直线l的斜率为，所以直线l：y(xc)由得P.因为|，|，|成等比数列，所以xAca2，所以xA，A，所以，则.(2)由得，x22cx0，因为点E，D分别在双曲线的左右两支上，所以0，所以b2a2.所以e22，所以e.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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