(江苏专用)高考数学二轮复习 专题检测37 圆锥曲线中的探索性问题
6页1、37圆锥曲线中的探索性问题1在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量与共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由解(1)由已知条件,得直线l的方程为ykx,代入椭圆方程得(kx)21.整理得(k2)x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k24(k2)4k220,解得k.即k的取值范围为(,)(,)(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则(x1x2,y1y2),由方程,得x1x2.又y1y2k(x1x2)2.而A(,0),B(0,1),(,1)所以与共线等价于x1x2(y1y2),将代入上式,解得k.由(1)知k,故不存在符合题意的常数k.2已知双曲线方程为x21,问:是否存在过点M(1,1)的直线l,使得直线与双曲线交于P、Q两点,且M是线段PQ的中点?如果存在,求出直线的方程,如果不存在,请说明理由解显然x1不满足条件,设l:y1k(x1)联立y1k(x1)和x21,消去y得(2k2)x2(2k22k
2、)xk22k30,由0,得k,x1x2,由M(1,1)为PQ的中点,得1,解得k2,这与k0)过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求AB的取值范围;若不存在,请说明理由解(1)因为椭圆E:1(a,b0)过M(2,),N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为1.(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为ykxm,A(x1,y1),B(x2,y2),解方程组得x22(kxm)28,即(12k2)x24kmx2m280,则16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0,即8k2m240.故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2.要使,需使x1x2y1y20,即0,所以3m28k280,所以k20.又8k2m240,所以所以m2,即m或m,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r,r2,r,所求的圆为x2y2,此时圆的切线ykxm都满足
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