全国高中数学竞赛试题及答案汇集

全国高中数学竞赛试题及答案汇集 全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。把答案填在横线上． 1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合 ． 2．函数的值域为 ． 3．设为正实数，，，则 ． 4．如果，，那么的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答） 6．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为 ． 7．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则点的坐标为 ． 8．已知C，则数列中整数项的个数为 ． 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数，实数满足，，求的值． 10．（本小题满分20分）已知数列满足：R且，N． （1）求数列的通项公式； （2）若，试比较与的大小． y x O P A B 11．（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方． （1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若，求△的面积． 2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷） A B C D Q P 一、（本题满分40分）如图，分别是圆内接四边形的对角线的中点．若，证明：． 二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式 具有如下性质： （1）均为正整数； （2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有 ． 三、（本题满分50分）设是给定的正实数，．对任意正实数，满足的三元数组的个数记为． 证明：． 四、（本题满分50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值． 2010年全国高中数学联赛 一 试 一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数的值域是 . 2. 已知函数的最小值为，则实数的取值范围是 . 3. 双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 . 4. 已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则 . 5. 函数 在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则 . 8. 方程满足的正整数解（x,y,z）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分） 9. （16分）已知函数，当时，，试求的最大值. 10.（20分）已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值. 11.（20分）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得 . 加 试 1. （40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆． 2. （40分）设k是给定的正整数，．记，．证明：存在正整数m，使得为一个整数．这里，表示不小于实数x的最小整数，例如：，． 3. （50分）给定整数，设正实数满足，记 ． 求证： ． 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？ 解 答 1. 提示：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为. 2. 提示：令，则原函数化为，即 . 由，， 及 知 即 . （1） 当时（1）总成立； 对；对.从而可知 . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为 . 又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为. 4. 提示 ：设的公差为的公比为，则 （1） ， （2） （1）代入（2）得，求得. 从而有 对一切正整数都成立，即 对一切正整数都成立. 从而 ， 求得 ，. 5. 提示：令则原函数化为,在上是递增的. 当时，, ， 所以 ； 当时，， ， 所以 . 综上在上的最小值为. 6. 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为 . 7. 提示：解法一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，. 设分别与平面、平面垂直的向量是、，则 由此可设 ，所以，即 . 所以 . 解法二：如图， . 设与交于点 则 . 从而平面 . 过在平面上作,垂足为. 连结,则为二面角的平面角.设,则易求得. 在直角中，,即 . 又 . . 8. 336675 提示：首先易知的正整数解的个数为 . 把满足的正整数解分为三类： （1）均相等的正整数解的个数显然为1； （2）中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设两两均不相等的正整数解为. 易知 ， 所以 ， 即 . 从而满足的正整数解的个数为 . 9. 解法一： 由 得 . 所以 ， 所以. 又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为. 解法二：. 设，则当时，. 设 ，则. . 容易知道当时，. 从而当时， ， 即 ， 从而 ,，由 知. 又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为. 10. 解法一：设线段的中点为，则 ， . 线段的垂直平分线的方程是 . （1） 易知是（1）的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为. 由（1）知直线的方程为，即 . （2） （2）代入得，即 . （3） 依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以 , . . 定点到线段的距离 . . 当且仅当，即,或时等号成立. 所以，面积的最大值为. 解法二：同解法一，线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为. 设，则的绝对值, , 所以, 当且仅当且，即 ,或 时等号成立. 所以，面积的最大值是. 11.令，则，所以是严格递增的.又，故有唯一实数根. 所以 ， . 故数列是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列和满足 ， 去掉上面等式两边相同的项，有 ， 这里，所有的与都是不同的. 不妨设，则 ， ， 矛盾.故满足题设的数列是唯一的. 加试解答 1. 用反证法．若A，B，D，C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ． 因为P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O） ， 同理 ， 所以 ， 故⊥． 由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是 ． ① 由梅内劳斯（Menelaus）定理，得 ， ② ． ③ 由①，②，③可得， 所以，故△DMN ∽ △DCB，于是，所以BC∥MN，故OK⊥BC，即K为BC的中点，矛盾！从而四点共圆. 注1：“P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使得 ， ④ 则P，E，F，A四点共圆，故 ， 从而E，C，F，K四点共圆，于是 ， ⑤ ⑤-④，得 P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）． 注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似． 2. 记表示正整数n所含的2的幂次．则当时，为整数． 下面我们对用数学归纳法． 当时，k为奇数，为偶数，此时 为整数． 假设命题对成立． 对于，设k的二进制表示具有形式 ， 这里，或者1，． 于是 ， ① 这里 . 显然中所含的2的幂次为．故由归纳假设知，经过f的v次迭代得到整数，由①知，是一个整数，这就完成了归纳证明． 3. 由知，对，有． 注意到当时，有，于是对，有