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题型五立体几何中的空间角问题

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文档编号：508298304

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1、题型五立体几何中的空间角问题1.如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值2(2011湖南)如图，在圆锥PO中，已知PO，O的直径AB2，C是AB的中点，D为AC的中点(1)证明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值答案 1(1)证明设ADDE2AB2a，以A为原点，AC为x轴，AB为z轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)因为F为CD的中点，所以F.，(a，a，a)，(2a,0，a)因为()，AF平面BCE，所以AF平面BCE.(2)证明因为，(a，a,0)，(0,0，2a)，故0，0，所以，.所以平面CDE.又AF平面BCE，所以平面BCE平面CDE.(3)解设平面BCE的法向量为n(x，y，z)由n0，n0，可得xyz0,2xz0，取n(1，2)又，设BF和平面BCE所成的角为，则sin .所以直线BF和平面BC

2、E所成角的正弦值为.2方法一(1)证明如图，连接OC，因为OAOC，D是AC的中点，所以ACOD.又PO底面O，AC底面O，所以ACPO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC平面POD，而AC平面PAC，所以平面POD平面PAC.(2)解在平面POD中，过O作OHPD于H，由(1)知，平面POD平面PAC，所以OH平面PAC.又PA平面PAC，所以PAOH.在平面PAO中，过O作OGPA于G，连结HG，则有PA平面OGH，从而PAHG，故OGH为二面角BPAC的平面角在RtODA中，ODOAsin 45.在RtPOD中，OH.在RtPOA中，OG.在RtOHG中，sinOGH.所以cosOGH.故二面角BPAC的余弦值为.方法二(1)证明如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.设n1(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n10，n0，得所以z10，x1y1.取y11，得n1(1,1,0)设n2(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，则由n20，n20，得所以x2z2，y2z2.取z21，得n2(，1)因为n1n2(1,1,0)(，1)0，所以n1n2.从而平面POD平面PAC.(2)解因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n3(0,1,0)由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2(，1)设向量n2和n3的夹角为，则cos .由图可知，二面角BPAC的平面角与相等，所以二面角BPAC的余弦值为.

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