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2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案

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1、2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案（江南博哥）1单选题（）.A.a=，b=-1B.a=-，b=-1C.a=，b=1D.a=-，b=1正确答案：B参考解析：2单选题下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.f(x)=|x| sin |x|B.f(x)=|x| sinC.f(x)=cos|x|D.f(x)=cos正确答案：D参考解析：本题考查导数的极限定义3单选题设函数若f(x)+g(x)在R上连续，则（）A.a=3，b=1B.a=3，b=2C.a=-3，b=1D.a=-3，b=2正确答案：D参考解析：分段点为x=-1，x=0当x-1时，f(x)+g(x)=-1+2-ax=1-ax；当-1x0时，f(x)+g(x)=-1+x；当x0时，f(x)+g(x)=1+x-64单选题设函数f(x)在0，1上二阶可导，且，则（）A.当f(x)0时，f()0B.当f(x)0时，f()0时，f()0时，f()NKB.MKNC.KMND.KNM正确答案：C参考解析：6单选题（）A.B.C.D.正确答案：C参考解析：积分区域D可表示为D=(x，y)|-1x0，-xy2-x2(x，y)|0x

2、1，xy2-x2D关于y轴对称，而xy关于x为奇函数，因此7单选题（）.A.B.C.D.正确答案：A参考解析：本题考查矩阵相似的定义及相似矩阵的性质(相似矩阵的秩相等)若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则AB从而可知E-AE-B，且r(E-A)=r(E-B)设题中所给矩阵为A，各项中的矩阵分别为B1，B2，B3，B4经验证知r(EB1)=2，r(E-B2)=r(EB3)=r(E-B4)=1因此AB1，即A相似于A项下的矩阵8单选题设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则（）A.r(A，AB)=r(A)B.r(A，BA)=r(A)C.r(A，B)=maxr(A)，r(B)D.r(A，B)=r(ATBT)正确答案：A参考解析：解这道题的关键，要熟悉以下两个不等关系r(AB)minr(A)，r(B)；r(A，B)maxr(A)，r(B)由r(E，B)=n，可知r(A，AB)=r(A(E，B)minr(A)，r(E，B)=r(A)又r(A，AB)maxr(A)，r(AB)，r(AB)r(A)，可知r(A，AB)r(A)从而可得r(A，AB)=r(A)9填空题_

3、参考解析：1【解析】由拉格朗日中值定理，得10填空题曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是_参考解析：y=4x-3【解析】首先求得函数y=x2+2lnx的定义域为(0，+)求一阶、二阶导数，可得y=2x+，y”=2-.令y”=0，得x=1当x1时，y”0；当x1时，y”0)，求导得令g(x)=x-2ln x+2k，求导得g(x)=1-.令g(x)=0，得驻点x=2当0x1时，g(x)g(1)=1+2kl+2(ln 21)=2ln 210因此f(x)0，f(x)在(0，1)上单调递增，故f(x)f(1)=0在(0，1)上，由x-10，f(x)0当x1时，可知当1x2时，g(x)2时，g (x)0因此g(x)在(1，2)上单调递减，在(2，+)上单调递增，则g(x)g(2)=22ln 2+2k22ln 2+2(ln 21)=0因此f(x)0，f(x)在(1，+)上单调递增，故f(x)f(1)=0在(1，+)上，由x-10，f(x)0，可得(x-1)(xln2x+2klnx-1)0综上所述，当x0时，不等式(x-1)(xln2x+2klnx-1)0恒成立19简答题将长为2 m的铁丝分成

4、三段，依次围成圆、正方形和正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值参考解析：设分割后的三段铁丝的长分别为x，y，z，则x+y+z=220简答题已知曲线L：y=x2(x0)，点O(0，0)，点A(0，1)，设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP及曲线L所围成图形的面积若P运动到点(3，4)时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率参考解析：设点P的坐标为(x(t)，x2(t)，则所围图形的面积为21简答题参考解析：证明：设f(x)=ex-1-x(x0)，则有22简答题设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；()求f(x1，x2，x3)的规范形参考解析：(I)由f(x1，x2，x3)=0得23简答题(I)求a；()求满足AP=B的可逆矩阵P参考解析：(I)由题意知|A|=|B|，且r(A)=r(B)由于因此可得a=2()求满足AP=B的可逆矩阵P，即求方程组Ax=B的解令P=(1，2，3)，B=(1，2，3)，X=(x1，x2，x3)，则可得方程组Ax1=1的基础解系为(-6，2，1)T，特解为(3，-1，0)T；得方程组Ax2=2的基础解系为(-6，2，1)T，特解为(4，-1，0)T；得方程组Ax3=3的基础解系为(-6，2，1)T，特解为(4，-1，0)T从而可知三个非齐次方程组的通解为

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