2003年考研数学(二)试题解析
14页1、2003年考研数学(二)试题解析一、 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1) 若时, 与是等价无穷小,则a= -4 .【分析】 根据等价无穷小量的定义,相当于已知,反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】 当时,.于是,根据题设有 ,故a=-4.(2) 设函数y=f(x)由方程所确定,则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 x-y=0 .【分析】 先求出在点(1,1)处的导数,然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】 等式两边直接对x求导,得 ,将x=1,y=1代入上式,有 故过点(1,1)处的切线方程为 ,即 【评注】 本题属常规题型,综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点.(3) 的麦克劳林公式中项的系数是 .【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值,则麦克劳林公式中项的系数是【详解】 因为 ,于是有 ,故麦克劳林公式中项的系数是【评注】 本题属常规题型,在一般教材中都可找到答案.(4) 设曲线的极坐标方程为 ,则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .
2、【分析】 利用极坐标下的面积计算公式即可.【详解】 所求面积为 =.【评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算,也可化为参数方程求面积,但计算过程比较复杂. (5) 设为3维列向量,是的转置. 若,则= 3 .【分析】 本题的关键是矩阵的秩为1,必可分解为一列乘一行的形式,而行向量一般可选第一行(或任一非零行),列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】 由=,知,于是【评注】 一般地,若n阶矩阵A的秩为1,则必有(6) 设三阶方阵A,B满足,其中E为三阶单位矩阵,若,则 .【分析】 先化简分解出矩阵B,再取行列式即可.【详解】 由知, ,即 ,易知矩阵A+E可逆,于是有 再两边取行列式,得 ,因为 , 所以 .【评注】 本题属基本题型,综合考查了矩阵运算与方阵的行列式,此类问题一般都应先化简再计算. 二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设均为非负数列,且,则必有(A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立.(C) 极限不存在. (D) 极限不存在. D 【分析】 本题考查极限
3、概念,极限值与数列前面有限项的大小无关,可立即排除(A),(B); 而极限是型未定式,可能存在也可能不存在,举反例说明即可;极限属型,必为无穷大量,即不存在.【详解】 用举反例法,取,则可立即排除(A),(B),(C),因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题,经常可考虑用反例,通过排除法找到正确选项. (2)设, 则极限等于 (A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 先用换元法计算积分,再求极限.【详解】 因为 = =,可见 =【评注】 本题属常规题型,综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点,但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题,一般教材中均可找到其计算方法. (3)已知是微分方程的解,则的表达式为 (A) (B) (C) (D) A 【分析】 将代入微分方程,再令的中间变量为u,求出的表达式,进而可计算出.【详解】将代入微分方程,得 ,即 .令 lnx=u,有 ,故 = 应选(A). 【评注】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来,具有一定的综合性,但问题本身并不复杂,只要仔细计算应该可以找到正确选项.(4)设函数f(x)在内连续
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