2004年考研数学(三)试题解析
15页1、2004年考研数学(三)试题解析一、 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1) 若,则a =,b =.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为,且,所以,得a = 1. 极限化为,得b = -4.因此,a = 1,b = -4.【评注】一般地,已知 A,(1) 若g(x) 0,则f (x) 0;(2) 若f (x) 0,且A 0,则g(x) 0. (2) 设函数f (u , v)由关系式f xg(y) , y = x + g(y)确定,其中函数g(y)可微,且g(y) 0,则.【分析】令u = xg(y),v = y,可得到f (u , v)的表达式,再求偏导数即可.【详解】令u = xg(y),v = y,则f (u , v) =,所以,.【评注】 本题属基本题型.(3) 设,则.【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:x - 1 = t,再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t,. (4) 二次型的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可
2、得到答案.【详解一】因为于是二次型的矩阵为 ,由初等变换得 ,从而 , 即二次型的秩为2. 【详解二】因为, 其中 .所以二次型的秩为2. (5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则 .【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于, 的分布函数为故.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布,和 分别是来自总体和的简单随机样本, 则 .【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 , ,故应填 .二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7) 函数在下列哪个区间内有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)内连续,且极限与存在,则函数f (x)在(a , b)内有界.【详解】当x 0 , 1 , 2时,f (x)连续,而,所以,函数f (x)在(-1 , 0)内有界,故选(A).【评注
3、】一般地,如函数f (x)在闭区间a , b上连续,则f (x)在闭区间a , b上有界;如函数f (x)在开区间(a , b)内连续,且极限与存在,则函数f (x)在开区间(a , b)内有界. (8) 设f (x)在(- , +)内有定义,且,则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. D 【分析】考查极限是否存在,如存在,是否等于g(0)即可,通过换元,可将极限转化为.【详解】因为= a(令),又g(0) = 0,所以,当a = 0时,即g(x)在点x = 0处连续,当a 0时,即x = 0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关,故选(D).【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x) = |x(1 - x)|,则(A) x = 0是f (x)的极值点,但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点,但(0 ,
4、0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点,且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点,(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. C 【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况,考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况.【详解】设0 d 0,而f (0) = 0,所以x = 0是f (x)的极小值点.显然,x = 0是f (x)的不可导点. 当x (-d , 0)时,f (x) = -x(1 - x),当x (0 , d)时,f (x) = x(1 - x),所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况,也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题:(1) 若收敛,则收敛.(2) 若收敛,则收敛.(3) 若,则发散.(4) 若收敛,则,都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1)
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