2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案（江南博哥）1单选题（）.A.a=，b=-1B.a=-，b=-1C.a=，b=1D.a=-，b=1正确答案：B参考解析：2单选题下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.f(x)=|x| sin |x|B.f(x)=|x| sinC.f(x)=cos|x|D.f(x)=cos正确答案：D参考解析：本题考查导数的极限定义3单选题设函数若f(x)+g(x)在R上连续，则（）A.a=3，b=1B.a=3，b=2C.a=-3，b=1D.a=-3，b=2正确答案：D参考解析：分段点为x=-1，x=0当x-1时，f(x)+g(x)=-1+2-ax=1-ax；当-1<x<0时，f(x)+g(x)=-1+x；当x0时，f(x)+g(x)=1+x-6  4单选题设函数f(x)在0，1上二阶可导，且，则（）A.当f(x)<0时，f()<0B.当f(x)<0时，f()<0C.当f'(x)>0时，f()<0D.当f”(x)>0时，f()<0正确答案：D参考解析：5单选题（）A.M>N>KB.M>K>NC.K>M>ND.K>N>M正确答案：C参考解析：6单选题（）A.B.C.D.正确答案：C参考解析：积分区域D可表示为D=(x，y)|-1x0，-xy2-x2(x，y)|0x1，xy2-x2D关于y轴对称，而xy关于x为奇函数，因此7单选题（）.A.B.C.D.正确答案：A参考解析：本题考查矩阵相似的定义及相似矩阵的性质(相似矩阵的秩相等)若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则AB从而可知E-AE-B，且r(E-A)=r(E-B)设题中所给矩阵为A，各项中的矩阵分别为B1，B2，B3，B4经验证知r(EB1)=2，r(E-B2)=r(EB3)=r(E-B4)=1因此AB1，即A相似于A项下的矩阵8单选题设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则（）A.r(A，AB)=r(A)B.r(A，BA)=r(A)C.r(A，B)=maxr(A)，r(B)D.r(A，B)=r(AT  BT)正确答案：A参考解析：解这道题的关键，要熟悉以下两个不等关系r(AB)minr(A)，r(B)；r(A，B)maxr(A)，r(B)由r(E，B)=n，可知r(A，AB)=r(A(E，B)minr(A)，r(E，B)=r(A) 又r(A，AB)maxr(A)，r(AB)，r(AB)r(A)，可知r(A，AB)r(A)从而可得r(A，AB)=r(A)9填空题_参考解析：1【解析】由拉格朗日中值定理，得10填空题曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是_参考解析：y=4x-3【解析】首先求得函数y=x2+2ln x的定义域为(0，+)求一阶、二阶导数，可得y=2x+，y”=2-.令y”=0，得x=1当x>1时，y”>0；当x<1时，y”<0因此(1，1)为曲线的拐点，点(1，1)处的切线斜率k=y(1)=4因此切线方程为y-1=4(x-1)，即y=4x-311填空题_参考解析：【解析】12填空题_参考解析：【解析】 13填空题设函数z=z(x，y)由方程ln z+ez-1=xy所确定，则_参考解析：【解析】 14填空题设A为三阶矩阵，1，2，3为线性无关的向量组若A1=21+2+3，A2=2+23，A3=-2+3，则A的实特征值为_参考解析：2【解析】 15简答题参考解析： 16简答题(I)求f(x)；(II)若f(x)在区间0，1上的平均值为1，求a的值参考解析：(I)令u=x-t，则t=x-u，dt=-du因此  因此a=17简答题参考解析：题中所给曲线是一条拱线，平面区域D可表示为18简答题已知常数kln2-1，证明：(x-1)(x-ln2x+2klnx-1)0参考解析：证明：当x=1时，显然所证成立当x1时，令f(x)=x-ln2x+2k lnx-1(x>0)，求导得 令g(x)=x-2ln x+2k，求导得g'(x)=1-.令g(x)=0，得驻点x=2当0<x<1时，g(x)<0因此g(x)在(0，1)上单调递减，则g(x)>g(1)=1+2kl+2(ln 21)=2ln 21>0因此f(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增，故f(x)<f(1)=0在(0，1)上，由x-1<0，f(x)<0，可得(x-1)(x-1n2x+2k lnx-1)>0当x>1时，可知当1<x<2时，g(x)<0；当x>2时，g' (x)>0因此g(x)在(1，2)上单调递减，在(2，+)上单调递增，则g(x)>g(2)=22ln 2+2k22ln 2+2(ln 21)=0因此f'(x)>0，f(x)在(1，+)上单调递增，故f(x)>f(1)=0在(1，+)上，由x-1>0，f(x)>0，可得(x-1)(xln2x+2k ln x-1)>0综上所述，当x>0时，不等式(x-1)(xln2x+2k ln x-1)0恒成立19简答题将长为2 m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形和正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值参考解析：设分割后的三段铁丝的长分别为x，y，z，则x+y+z=2 20简答题已知曲线L：y=x2(x0)，点O(0，0)，点A(0，1)，设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP及曲线L所围成图形的面积若P运动到点(3，4)时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率参考解析：设点P的坐标为(x(t)，x2(t)，则所围图形的面积为 21简答题参考解析：证明：设f(x)=ex-1-x(x>0)，则有 22简答题设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；()求f(x1，x2，x3)的规范形参考解析：(I)由f(x1，x2，x3)=0得23简答题(I)求a；()求满足AP=B的可逆矩阵P参考解析：(I)由题意知|A|=|B|，且r(A)=r(B)由于  因此可得a=2()求满足AP=B的可逆矩阵P，即求方程组Ax=B的解 令P=(1，2，3)，B=(1，2，3)，X=(x1，x2，x3)，则可得方程组Ax1=1的基础解系为(-6，2，1)T，特解为(3，-1，0)T；得方程组Ax2=2的基础解系为(-6，2，1)T，特解为(4，-1，0)T；得方程组Ax3=3的基础解系为(-6，2，1)T，特解为(4，-1，0)T从而可知三个非齐次方程组的通解为