2004年考研数学(四)试题解析
13页1、2004年考研数学(四)试题解析一、 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1) 若,则a =,b =.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为,且,所以,得a = 1. 极限化为,得b = -4.因此,a = 1,b = -4.【评注】一般地,已知 A ,(1) 若g(x) 0,则f (x) 0;(2) 若f (x) 0,且A 0,则g(x) 0. (2) 设,则.【分析】本题为基础题型,先求导函数即可.【详解】因为,所以,.【评注】 本题属基本题型,主要考查复合函数求导.(3) 设,则.【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:x - 1 = t,再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t, .【评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解. (4) 设,其中为三阶可逆矩阵,则【分析】 将的幂次转化为的幂次, 并注意到为对角矩阵即得答案.【详解】因为, .故 , .【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查设是实正交矩阵,且,则线性方程组的解是【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果.【详解】因为
2、, 而且是实正交矩阵, 于是 , 的每一个行(列)向量均为单位向量, 所以 .【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算 (6) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则 .【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于, 的分布函数为故.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7) 函数在下列哪个区间内有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)内连续,且极限与存在,则函数f (x)在(a , b)内有界.【详解】当x 0 , 1 , 2时,f (x)连续,而,所以,函数f (x)在(-1 , 0)内有界,故选(A).【评注】一般地,如函数f (x)在闭区间a , b上连续,则f (x)在闭区间a , b上有界;如函数f (x)在开区间(a , b)内连续,且极限与存在,则函数f (x)在开区间(a , b)内
3、有界. (8) 设f (x)在(- , +)内有定义,且,则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. D 【分析】考查极限是否存在,如存在,是否等于g(0)即可,通过换元,可将极限转化为.【详解】因为= a(令),又g(0) = 0,所以,当a = 0时,即g(x)在点x = 0处连续,当a 0时,即x = 0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关,故选(D).【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x) = |x(1 - x)|,则(A) x = 0是f (x)的极值点,但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点,但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点,且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点,(0 , 0)也不是曲线
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