2021年全国硕士研究生考试数学(一)真题(含解析)
13页1、2021年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码:301)一、选择题(110小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的,请将所选项前的字母写在题后的括号内)冶一1工,在匸=0处( ).=0(1)函数 )=(B) 连续且取得极小值(D)可导且导数不为零(C) 旳11,(A)连续且取得极大值(C)可导且导数等于零(2)设函数 f(x,yf(x,y)可微,且yCz+l,e)=工(工 +1)2(工,工= 2x2x2 2nx,nx,则甘(1,1)=( ).(A)dr + dy (B)djr 一 dydy (C)d_y (D) dy(3)设函数/(jr ) = “n :在工=0处的3次泰勒多项式为axax +bx+bx2 2 + + cxcx则( ). 1 + JC7_ 7_?(A)a = 1 = 0 9C(C)a = ,h,h = = 1 ,c,c7_ 7_1_6 67 7(D)a = 1 ,b,b 1 1 ,c,c = =6(B)a =1,6 = 0 9C(4)设函数/(工)在区间0,1上连续,则/(工)山=( )J 012n2n”= 62? /
2、,(C)lim 丈 丄(5)设二次型 /(J7 1,工2,工 3)(-T 1 + + X X Z ZY Y + (工2 + 工3) 性指数依次为( ).(A)2,0 (B)l,l1(B)lim”一8(D)lim”f 8n nx xx xyy的正惯性指数与负惯丁)丄(02,1(D)l,2(6)已知a,a,2 9 9 (x (x 3P Pi i = = a a i i ,02,02 = = a a2 2 kfikfii i ,03,03 = = a a3 3 liPiliPi 1 12 2卩2 2 右 P Pi i, ,10 a a 21卩2 2, ,0303两两相交,则1111丿2依次为( / A、5 1 小、5 1盲 迈).2021年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 1 页,共 13 页7)设A.B为阶实矩阵,下列结论不成立的是( )./A/A O O (A)r 丁 =2r(A)oo ata/A/A BABA (C)r t ) = 2厂(A )/A/A ABAB(B)r 丁 丨=2厂(A )、O O at/(A(A O O (D)r =2 心)At/8) 设为随机事件,且0 P(E)
3、P(E) P(A), lilij P(A |B) P(A)(C) 若 P(A|B)P(A | 巨),则 P(A|B)P(A)(D) 若 P(A |A U B) P(A |A U B),则 P(A) P(B)9) 设(X,YQ,(X2,Y2),(X”,Y”)为来自总体N %, “2;屛,话;Q)的简单随机样本,令 9 = 卩2 2、X X = = X:,Y = YY Y ,0,0 = = X X Y,则( ).n ,=i ,=12 | 2(A)0是0的无偏估计,D(4,D(4 =空工上(E)不是0的无偏估计,D()= |2 n n( (0909是e e的无偏估计, ,D D( (0 0) ) = =6十仟S71 71(D)9不是0的无偏估计,DV) =6十几n n10) 设X|,X2,“,X|6是来自总体N (,4)的简单随机样本,考虑假设检验问题:H。 10,Q )表示标准正态分布函数,若该检验问题的拒绝域为W = 乂$11,其 16 /中X=uX,则 =11.5时,该检验犯第二类错误的概率为( ).(A)l(0.5) (B)l -0(1)(01-0(1. 5) (D)l(2):、填空
4、题(1116小题,每小题5分,共30分请将答案写在题中的横线上.)+8 djc11) 1 9 . . . =Jo jr2 + 2a: + 2L2)设函数夕=(工)由参数方程 + + 1,所确定,则冀|b=4(t 1疋 +/2 E 丨,=0 -3)欧拉方程x x1 1 yy + + xyxy 一4夕=0满足条件_y(l) = l,j/(l) = 2的解为y y = =_ . .-4)设艺为空间区域(工,y,y ,z,z) ) |j?2+4j/24,0z “”(工)的收敛域及和函数.nknnkn + 1) ”=i(19)(本题满分12分)已知曲线二求上的点到心坐标面距离的最大值2021年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 3 页,共 13 页(20)(本题满分12分)设D U便是有界单连通闭区域,/(D) = J(4 * 犷)血旳取得最大值的积分区域为 (I )求KDj)的值;(21)(本题满分12分)r 1已知 A = I 1 a a 1 .1 - 1 a a I I(I )求正交矩阵P,使得P P APAP为对角矩阵;(II )求正定矩阵C,使得C? =(a +3)E A.(22)(本
5、题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点,将该区间分成两段,较短一段的长度为X,较长一段的长度 y为Y,Y,令Z=-.(I )求X的概率密度;(11 )求Z的概率密度;(川)求 E(y).2021年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 4 页,共 13 页2021年数学(一)真题解析一、选择题【 【答案答案】(D).er _ 1【 【解解】 】 由lim/(j?) = lim-= 1 =/(0)得/ (工)在无=0处连续;-1 ” 再由lim 2)*)=岛 -=加 _工=1曲刍二当得r-*0 X x-O x X-*O X 2f(0) = H 0,应选(D).(2) 【 【答案答案】(C).【 【解解】f (工+ l,e) =x x + l)?两边对x求导得f Q + 1,于)+e丁; Q +1,于)=Q +1严 +2工( +1), 取工=0 得 f (1,1) +几(1,1) =1;/(x ,jc2) = 2o?Jln x两边对工求导得/1 (z ,_z $) + 2工兀(x 2) = 4jc In x + 2x , 取工=1 得 f (1,1) +2/; (1,1) =2, 解得 f
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