2021年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）

2021年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、选择题(110小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内)冶一1工，在匸=0处( ).=0(1)函数 )=(B) 连续且取得极小值(D)可导且导数不为零(C) 旳11,(A)连续且取得极大值(C)可导且导数等于零(2)设函数 f(x,yf(x,y)可微，且yCz+l,e)=工(工 +1)2(工,工= 2x2x2 2nx,nx,则甘(1,1)=( ).(A)dr + dy (B)djr 一 dydy (C)d_y (D) dy(3)设函数/(jr ) = “n ：在工=0处的3次泰勒多项式为axax +bx+bx2 2 + + cxcx则( ). 1 + JC7_ 7_?(A)a = 1 = 0 9C(C)a = ,h,h = = 1 ,c,c7_ 7_1_6 67 7(D)a = 1 ,b,b 1 1 ,c,c = =6(B)a =1,6 = 0 9C(4)设函数/(工)在区间0,1上连续，则/(工)山=( )J 012n2n”= 62? / ,(C)lim 丈 丄(5)设二次型 /(J7 1，工2,工 3)(-T 1 + + X X Z ZY Y + (工2 + 工3) 性指数依次为( ).(A)2,0 (B)l,l1(B)lim”一8(D)lim”f 8n nx xx xyy的正惯性指数与负惯丁)丄(02,1(D)l,2(6)已知a,a,2 9 9 (x (x 3P Pi i = = a a i i ,02,02 = = a a2 2 kfikfii i ,03,03 = = a a3 3 liPiliPi 1 12 2卩2 2 右 P Pi i， ，10 a a 21卩2 2， ，0303两两相交，则1111丿2依次为( / A、5 1 小、5 1盲 迈).2021年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 13 页7）设A.B为阶实矩阵，下列结论不成立的是（ ）./A/A O O (A)r 丁 =2r(A)oo ata/A/A BABA (C)r t ) = 2厂(A )/A/A ABAB(B)r 丁 丨=2厂(A )、O O at/(A(A O O (D)r =2 心)At/8) 设为随机事件，且0 P(E)P(E) P(A), lilij P(A |B) P(A)(C) 若 P(A|B)P(A | 巨)，则 P(A|B)P(A)(D) 若 P(A |A U B) P(A |A U B),则 P(A) P(B)9) 设(X,YQ,(X2，Y2)，(X”，Y”)为来自总体N %, “2；屛，话；Q)的简单随机样本,令 9 = 卩2 2、X X = = X：,Y = YY Y ,0,0 = = X X Y,则( ).n ,=i ,=12 | 2(A)0是0的无偏估计,D(4,D(4 =空工上（E）不是0的无偏估计,D（）= |2 n n（ （0909是e e的无偏估计， ，D D（ （0 0） ） = =6十仟S71 71（D）9不是0的无偏估计,DV） =6十几n n10） 设X|,X2，“，X|6是来自总体N （，4）的简单随机样本，考虑假设检验问题:H。 10,Q ）表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W = 乂$11,其 16 /中X=uX,则 =11.5时，该检验犯第二类错误的概率为（ ）.（A）l（0.5） （B）l -0（1）（01-0（1. 5） （D）l（2）:、填空题（1116小题，每小题5分，共30分请将答案写在题中的横线上.）+8 djc11） 1 9 . . . =Jo jr2 + 2a: + 2L2）设函数夕=（工）由参数方程 + + 1,所确定，则冀|b=4（t 1疋 +/2 E 丨,=0 -3）欧拉方程x x1 1 yy + + xyxy 一4夕=0满足条件_y（l） = l,j/（l） = 2的解为y y = =_ . .-4）设艺为空间区域（工,y,y ,z,z） ） |j?2+4j/24,0z “”（工）的收敛域及和函数.nknnkn + 1） ”=i（19）（本题满分12分）已知曲线二求上的点到心坐标面距离的最大值2021年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 13 页(20)(本题满分12分)设D U便是有界单连通闭区域,/(D) = J(4 * 犷)血旳取得最大值的积分区域为 (I )求KDj)的值;(21)(本题满分12分)r 1已知 A = I 1 a a 1 .1 - 1 a a I I(I )求正交矩阵P,使得P P APAP为对角矩阵；(II )求正定矩阵C,使得C? =(a +3)E A.(22)(本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为X,较长一段的长度 y为Y,Y,令Z=-.(I )求X的概率密度；(11 )求Z的概率密度；(川)求 E(y).2021年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 13 页2021年数学（一）真题解析一、选择题【 【答案答案】(D).er _ 1【 【解解】 】 由lim/(j?) = lim-= 1 =/(0)得/ (工)在无=0处连续；-1 ” 再由lim 2)*)=岛 -=加 _工=1曲刍二当得r-*0 X x-O x X-*O X 2f(0) = H 0,应选(D).(2) 【 【答案答案】(C).【 【解解】f (工+ l,e) =x x + l)?两边对x求导得f Q + 1,于)+e丁； Q +1,于)=Q +1严 +2工( +1), 取工=0 得 f (1,1) +几(1,1) =1；/(x ,jc2) = 2o?Jln x两边对工求导得/1 (z ,_z $) + 2工兀(x 2) = 4jc In x + 2x , 取工=1 得 f (1,1) +2/； (1,1) =2, 解得 f (1,1) =0,/； (1,1) =1,故 d/(l,l) =1歹，应选(0.(3) 【 【答案答案】(A).【 【解解】 】 因为/&）=洱冷为奇函数，所以b=0； ；1 +工x3 1由 sin x = x +。（工），-7 = 1 x2 + o （j?3 ）得6 1 +工f G 工2 =X-久3 +o（j?3）,1 +工 6应选（A）.（4）【 【答案答案】（E）.【 【解解】lim/（2_1（5）【 【答案答案】（B）.2“=lim n n-* Tlr，应选（B）.阖令j11211,X，则 f=XvAX,0工31A -1-11 0 0由 |AE-A | =-1 A - 21=(A + 1)1 A - 2 - 2-1 - 1A-1 - 1 A - 1(A +1)(入一3A )=0得入i = 1,入2 =0,入3 = 3,应选(E).2021年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 13 页(6)【答案】(A).【 【解解】由施密特正交化得/尸罟需=4厶=証暮=彳=4,应选.方法点评：将线性无关的向量组化为两两正交的规范向量组即施密特正交规范化，实对 称矩阵的对角化的正交变换法需要将线性无关的特征向量进行正交化和单位化.设 a,a2a3 线性无关， ，0i =a 1 ,p2 =a2 hPi 03 =叭匕庆 k2p,且0】,02 03 线性无关, mi 7 _( (a?,0i) )厶 _(。3， ，01) ) (a3,02) )刘Z1 =斫瓦7紅=(小心)2 =莎瓦亍(7)【答案】(C).【解】r(o 卜心)+心加=2心)；/A AB 列 /A O /A AB Mo flo爲得仏A；由A t)旦rf )得厂r )=2心)，应选(C).BA A1 2 S A1 At/1 - P(B)2 2c 2 I 2 oC I咒 2 6十几一印宀、土、=-1-7 npcf ! o 2 =-9 应述(CJ.n n n ri(8)【答案】(D).【 【解解】 】 由F(A | B) =P(A)得P(AB) =P(A)P(B),即事件独立,P(AB) P(A)P(B)于是 P(A |B)=-=-=F(A)；P(B) P(B)由 P(4 | B) P(A)得 P(AB) F(A)P(B),P(A B)从而 P(A |B)=-P(B)1-P(A)-P(B) + P(AB)1 -P(A) -P(B) +P(A)P(B)1 - P(B)=1 - P(A) =P(A)；由 P(A |B) P(A |B)得P(AB)P(B)P(A) - P(AB)1 - P(B)，整理得 P(AB) P(A)P(B),则 P(A |B)=P(AB)P(B)、P(A)P(B) PCB)=P(A)，应选(D).(9)【答案】(C).【 【解解】 】N则eV) =e(乂)一e()=幻一“2 =0；D() =D(X - Y) =D(X) +D(Y) -2Cov(X,Y)2 / 2 9 一 一 一=+ Cov(Xi ,Y) + Cov(X2 ,y)H- Cov(X ,Y)n n n2 2=空 +丄一$Cov(X| ,Y!)+Cov(X2,y2) H-Cov(X”，Y”)n n n2021年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 13 页(10)答案答案】(B).【 【解解】 】 由题乂N(11.5，+)，或兰JN(0,l),犯第二类错误的概率为PX 11 1,5 + a”_iz + + axjcy + aoy )的方程称为欧拉方程.令攵=e，则zj/ = Dy = ,2 = D(D l)y = 坐，dt dr drxy( = D(D 1) (D 一 n l)y ,代入原方程得高阶常系数线性微分方程，求出其通解，再将t=n.z代入即可得原方程的通解.2021年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 7 页，共 13 页（14）【 【答案答案】4tt.【 【解解】 】 设工所围成的几何体为0，由高斯公式得无 2 dy c!n y 2 Az Ajc + n dr d(2工 + 2+ l)du，Q由积分的奇偶性得dv = 2 JJ dr dyn d-ry=2 7T 1 2 = 4兀3（15）【 【答案答案】 】 y1a 12a 13【 【解解】|小=|小=21a 22Q 23=2(A I】+ A 2i + A3i ) = 3，则1a32a 333Ah + A2i + A31 =（16）【 【答案答案】寺寺0【 【解解】（X,Y）的可能取值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）,PX =0,Y = 0=PX =0,Y = l =ypx =i,y = o=兀PX =1,Y = 1 =*3 _ 3? _=102 _1r=T2 _1T -二亍3 _ 3= To,由胡; 2由; 21 J 得 E(X) =*,E(X2) =*,D(X)=扌； 2 11得E（y）=y,E（y2）=y,o（y）2由；40得e（xyu脣,10Z3 11Cov(X,y)E(XY)-E(X)E(Y)=-T=-,P!-J120TT7 7丄三、解答题（17）【 【解解】方法一方法一/ 1 +e，At lim - -e 11 sin x=lim1 + J e At J sin x 一 e + 1(e 1) sin xi -*() ()2021年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 8 页，共 13 页=lim-j.-*0匚.2 .e dt0-eT + 1limx -*-0sin x2 J X才t2 .e d sin x 一 eJ + 1 + j? oX 2limj-*0 x (2 .e dt sin x e + 1 + z oX 2lim.r-0sin xe ckoxi. eJ x limj-*0X 22lime limx-*0 x-*0eJ - 1 i 1-=-2工 2丄方法二工 2e d/0liJ-.-r-*0 e 11sin xlimx*0工 2e dt01ex 1 er 1 sin x