2000年全国硕士研究生考试数学(一)真题解析
7页1、2000年数学(一)真题解析一、填空题(1)【答案】7T方法一x2 dx = f a/1 (jc l)2 d(j? 1)=J 0a/1 x2 dj?方法二1 /-帀 x = sin tV 1 无 =o根据定积分的几何应用,屆工认即以曲线J 0y = Jlx jc2 (0 工W 1)为曲边的曲边梯形的面积. 如图所示,显然丿2工-工f =中.【答案】千1_卄2_2-46cos2/d/=/2=x Ko 2【解】【解】=F: ,F; ,F; |(1,一2,2)= 2工,4y ,6z |(i,_2,2)= 2, 8,12,qr 1 yi I 2 N 2则曲面在点(1.2,2)处的法线方程为、工占=乞丁.(3) 【答案】y =q + C2(C】,C2为任意常数).X【解】 【解】 方法一 由xy + 33/ = 0 ,得y-y =0.X 解得/hCojM =$,积分得原方程的通解为y = + C2(C15C2为任意常数).X JC方法二 由砂+ 3yf =0,得 x7,y + 3x2yf =0 或(x3yY =0. C于是工s,=c。,解得y =-|,积分得原方程通解为=4 + C2(C.,C2
2、为任意常数). jc x(4) 【答案】 一1.【解】 【解】 因为原方程组无解,所以r(A) r(A),而r(A)三3,所以r(A) 0 - 1-* 1 31132i oo 1-3 ; - 100 00得r(A) =r(A) =2,原方程组有无数个解,所以a工3 ,故a = -1.2(5)【答案】 y.【解】【解】PCAB) =PCA) -F(AB), P CAB) = P (B) - P (AB),2000年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 1 页,共 7 页由 P(AB) =P(AB),得 P(A) =P(B).- - 1 由 P(AB)=P(A+B)=l-P(A+B)=y,得 P(A+B)=.又 P(A +B) =P(A) +P(B) -P(AB) =2P(A) -P2(A),o o得 P2(A) -2P(A) +y =0,解得 P(A) = y.二、选择题(6)【答案】(A).【解】【解】由厂Q)gQ)TQ)gQ)力黑侏.gd g(工) g lb)于是 /(z)g(b) f (b) gO ,应选(A).方法点评:本题考查函数单调性.若y(H) o或y(_z)z)/(H)g(
3、_z)时,一般构造辅助函数; g(H )若题中出现f (j; ) + /(a- )gz(j:), 一般构造辅助函数/(JC )g(J7 ).(7)【答案】(C).【解】【解】由对面积的曲面积分的对称性质,得又因为six dS =JJ ydSsiFds =.sjjj/dS = 0,sn dS 9所以n dS = 4JJS S SzdSZ(1S 9s】x dS 9 应选(C).方法点评:二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分有类似的对称性, 对面积的曲面积分的对称性如下:若关于jrOy平面对称,其中工0夕平面上方为I】,则有J/(z ,z)dS =J0,12jJ/(jr ,w)dS , I习f (.x ,y , z) = f (工,y ,z), f (a: ,y , 2) = fx ,y ,z).其他两种情形同上.(8)【答案】(D).【解】 【解】 方法一 令S”=+“2 -”,因为工”收敛,所以lim“”= 0且limS存在.”= -8 8设limS” = S,令 S: = ( +“2)+(2 + 3)+ + (” + +i)= 2S” 一 i + “卄i.OO因为li
4、mS:, = 2S -,所以级数工(” +”+i)收敛,应选(D).心00 ” = 1 (1 H g /_ 1 W 1方法二 取Un = 丄1、,级数工| / ,1、收敛,而工丄1、发散,(A)不对;ln(z? + 1) /z = 1 ln(n + 1) z/ = 1 n ln(7? + 1)2000年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 2 页,共 7 页取”=上?,级数7 =工丄发散,(B)不对;寸Tl n = ” = 1(1 nl 00 吕 1取U” = ,级数工(“2”T “2”)= Y 发散,(C)不对,应选(D).n n= n= n(9) 【答案】【答案】(D).【解】 令 A =( ( a 1 .a?,,a”),B = (0i,02,0,”).由 a i ,a2, ,am 线性无关,得 r (A) =m.若山,卩-仇线性无关,则r(B)=m,因为r(A) =r(B) 所以矩阵A.B等价;反之,若矩阵A .B等价,则r(A) rCB ),因为r(A)加,所以r(B)=加,又因为矩阵的秩 与矩阵列向量组的秩相等,所以你,02,,血的秩为加,即你心,0”线性无关,应选(D).(1
5、0) 【答案】【答案】(E).【解】【解】W诃不相关的充分必要条件是Cov(f,) =0.而 Cov(Wq) =Cov(X + Y,X Y) =Cov(X,X) -Cov(Y,Y) =D(X) -D(Y),又 D(X) =E(X2) -E(X)T, D(Y) =E(Y2) E(Y)2,所以不相关的充分必要条件是D(X) =D(Y),即 E(X2) E(X)J2 =E(Y2) -E(Y)2,应选(E).三、解答题(11)【解】【解】 . 1/2 + sin j- 2 -h e7由 lim T + I I = lim -r + limz-o+l+e 1 1 乂_* 1 += 0 + 1=1, . 1/2 + eJ . sin jc 9 4- e7 sin rlim ( T I x I j = lim - -lim - -=2 1 = 19/2 + eT sin x 得啸匚/ +甘)7(12)【解】【解】由复合函数求偏导法则,得券= yf; ; + fi 气 g, , dx y xdy=f + y (工咒y -gX1li 无 1 / y f 2 + yf 11 J 22 g s y yQ (
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