2000年全国硕士研究生考试数学（一）真题解析

2000年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】7T方法一x2 dx = f a/1 (jc l)2 d(j? 1)=J 0a/1 x2 dj?方法二1 /-帀 x = sin tV 1 无 =o根据定积分的几何应用，屆工认即以曲线J 0y = Jlx jc2 （0 工W 1）为曲边的曲边梯形的面积. 如图所示，显然丿2工-工f =中.【答案】千1_卄2_2-46cos2/d/=/2=x Ko 2【解】【解】=F： ,F； ,F； |（1,一2,2）= 2工，4y ,6z |（i,_2,2）= 2, 8,12,qr 1 yi I 2 N 2则曲面在点（1.2,2）处的法线方程为、工占=乞丁.（3） 【答案】y =q + C2（C】，C2为任意常数）.X【解】 【解】 方法一 由xy + 33/ = 0 ,得y-y =0.X 解得/hCojM =$，积分得原方程的通解为y = + C2（C15C2为任意常数）.X JC方法二 由砂+ 3yf =0,得 x7,y + 3x2yf =0 或（x3yY =0. C于是工s，=c。，解得y =-|,积分得原方程通解为=4 + C2（C.,C2为任意常数）. jc x（4） 【答案】 一1.【解】 【解】 因为原方程组无解，所以r（A） r（A）,而r（A）三3,所以r（A） 0 - 1-* 1 31132i oo 1-3 ； - 100 00得r（A） =r（A） =2,原方程组有无数个解，所以a工3 ,故a = -1.2(5)【答案】 y.【解】【解】PCAB) =PCA) -F(AB), P CAB) = P (B) - P (AB),2000年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 7 页由 P(AB) =P(AB),得 P(A) =P(B).- - 1 由 P(AB)=P(A+B)=l-P(A+B)=y,得 P(A+B)=.又 P(A +B) =P(A) +P(B) -P(AB) =2P(A) -P2(A),o o得 P2(A) -2P(A) +y =0,解得 P(A) = y.二、选择题(6)【答案】(A).【解】【解】由厂Q)gQ)TQ)gQ)力黑侏.gd g(工) g lb)于是 /(z)g(b) f (b) gO ,应选(A).方法点评：本题考查函数单调性.若y(H) o或y(_z)z)/(H)g(_z)时，一般构造辅助函数； g(H )若题中出现f (j; ) + /(a- )gz(j：), 一般构造辅助函数/(JC )g(J7 ).(7)【答案】(C).【解】【解】由对面积的曲面积分的对称性质，得又因为six dS =JJ ydSsiFds =.sjjj/dS = 0,sn dS 9所以n dS = 4JJS S SzdSZ(1S 9s】x dS 9 应选(C).方法点评：二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分有类似的对称性, 对面积的曲面积分的对称性如下：若关于jrOy平面对称，其中工0夕平面上方为I】，则有J/(z ,z)dS =J0,12jJ/(jr ,w)dS , I习f (.x ,y , z) = f (工,y ,z), f (a: ,y , 2) = fx ,y ,z).其他两种情形同上.(8)【答案】(D).【解】 【解】 方法一 令S”=+“2 -”，因为工”收敛，所以lim“”= 0且limS存在.”= -8 8设limS” = S，令 S： = ( +“2)+(2 + 3)+ + (” + +i)= 2S” 一 i + “卄i.OO因为limS：, = 2S -，所以级数工(” +”+i)收敛，应选(D).心00 ” = 1 (1 H g /_ 1 W 1方法二 取Un = 丄1、，级数工| / ,1、收敛，而工丄1、发散，(A)不对;ln(z? + 1) /z = 1 ln(n + 1) z/ = 1 n ln(7? + 1)2000年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 7 页取”=上?，级数7 =工丄发散，(B)不对；寸Tl n = ” = 1(1 nl 00 吕 1取U” = ，级数工(“2”T “2”)= Y 发散，(C)不对，应选(D).n n= n= n(9) 【答案】【答案】(D).【解】 令 A =( ( a 1 .a?,，a”)，B = (0i，02，0,”).由 a i ,a2, ,am 线性无关，得 r (A) =m.若山，卩-仇线性无关，则r(B)=m,因为r(A) =r(B) 所以矩阵A.B等价；反之,若矩阵A .B等价，则r(A) rCB ),因为r(A)加，所以r(B)=加，又因为矩阵的秩 与矩阵列向量组的秩相等，所以你，02,，血的秩为加，即你心，0”线性无关，应选(D).(10) 【答案】【答案】(E).【解】【解】W诃不相关的充分必要条件是Cov(f，) =0.而 Cov(Wq) =Cov(X + Y,X Y) =Cov(X,X) -Cov(Y,Y) =D(X) -D(Y),又 D(X) =E(X2) -E(X)T， D(Y) =E(Y2) E(Y)2,所以不相关的充分必要条件是D(X) =D(Y),即 E(X2) E(X)J2 =E(Y2) -E(Y)2,应选(E).三、解答题(11)【解】【解】 . 1/2 + sin j- 2 -h e7由 lim T + I I = lim -r + limz-o+l+e 1 1 乂_* 1 += 0 + 1=1, . 1/2 + eJ . sin jc 9 4- e7 sin rlim ( T I x I j = lim - -lim - -=2 1 = 19/2 + eT sin x 得啸匚/ +甘)7(12)【解】【解】由复合函数求偏导法则，得券= yf； ； + fi 气 g， ， dx y xdy=f + y (工咒y -gX1li 无 1 / y f 2 + yf 11 J 22 g s y yQ (Z 9)=(13)【解】【解】令 PCx.y) = , 2 i 24j? + ydQ dp y2 4 工2 3jc (4jc 2 + y2 )2(乂，)# (0,0).如图所示，作L0： ：42+y2=r2(r 0且L。位于L内9取逆时针方向)，设L,与L围成的区域为Dl9L0围成的区 域为。2，由格林公式得x4 无2 + j/2三(13)题图2000年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 7 页于z dy y djrL+L0 4工 2 + jy 2Diapdjr- dy = 0 ,dcr工七-皿一 x Ay y Ax4工2+ y2 Lo 4 j-2 -y2D22(14)1 解】P =xf(.x ), Q = xy/(jc ), 由高斯公式得 x dy 一 y dx52 7r r rR =-e2xz,r7 = 7r-z Ax d=土IX + lfQ J血e2r dv =0,其中O为S围成的有界闭区域.由曲面 S 的任意性 9 得 /(jc ) + xff (j? ) xf(x ) e2r = 0 9 整理得/(jc) + (丄一1)/(工)=兰工 丿 X孑(丄一 1) dr ,一八 d_z+CX解得/(工)=”(”=土上2Px(Px 1) 因为 lim /(j? ) =19所以 C = 1,于是 f(x )=-工-*()+ H(15)【解】由lira | = lim00 CLn8 72 + 13 + (2)3+i 十(2)+i+得工 n = 13 + (2)壬-的收敛半 n径为R=3,幕级数工；1=i 3 + (2)”的收敛区间为(一3 93). n当X =3时，2n = 1331因为3 + (- 2)n3”3 + (2)丄n = l 洛0且乞5 n = 3 + (2)n1 吕亦发散，所以若12/731+ (2)3”L发散,n即3时，级数g亍;_ 2)”发散;n当z = 3时，8 1y_倉 3 + (2)(3)nV” =1Xn = 133 + (2)(-1)n21(-1) _ “ =1n2”3 + (2)171对正项级数头+(2”+】_3+】+ ( 2)+i由lim2n +冷再略(1)nn1得级数.”+)”2收敛得工=-3时，级数工:小” 二收敛. = 1 3 十(一/) 兀2000年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 7 页（16）【解】 设球体为+y2+z2 点P（0,0,R）为球面X上一点，且设0的重心坐标为,由对称性得x =09y =0.一 R）2du Jj 2 + y2 + Cz R ）2JdvnM N 怡工 2 + ? 2 +( N QZ = rcr-|jj k _jc 2 + y2 + (z 一 R )2 n_jc 2 + y2 + Cz R )2dua由奇偶性得Jj a-2 + 夕2 +(Z 一 R)2du = JJ(X2 + y2 + z2) d?7 + jjj K2 dx；n n nR 4 - . 4兀疋r sin 卩 d厂- -o 3rR 4 , , 4兀应 32兀疋r dr +o2 XQf 2n=2ttsin(pd(po150d0 d卩J 03JJnR? + y2 + (z R )2 df = _2Rnx2 + y2 + / )du8 Tri?615n于是N-手，故0的重心坐标为（0,0, j）R4方法点评：本题考查三重积分的物理应用. 积分学的物理应用是数学一的考点，主要有: （1）重心设D设0设L为平面区域，面密度为px ,?）,则重心坐标为jj xp (jc Q )d(xDjj，。（无,y）dcr_ D 肿工，皿 fD D为几何体，体密度为Q （工，夕9之），则重心坐标为，夕,z）ckQJJioCx ,y ,z）dv ,y ,z）diyQ Q为平面曲线段，线密度为px Q）,则重心坐标为xp（ （H ，N）duzp (j; 9y z)dv n y =|jj p (ar J ,n )duQ7p (jc y)da设丫xp (h 9y )ds7-9 了 =J Q (工，夕)dsyp （jc，歹）d s j* p（D ）ds 为曲面9面密度为0（ （2， ，夕，之）9则重心坐标为JJ Jtr/9（X，夕，N）dS 三=*（r jjp (h q ,N)dSjj yp (jc，丿，n )dS2zp (jc 9夕，N)dS 工 N =jjo (jc，夕 9N)dS2jjO(J： ,N)dS52000年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 7 页(2)转动惯量 设D为平面区域，面密度为(工，)，则转动惯量为匚(z )dc , Zy =jjz F (工，y )ck , /” =(工2 +3? )q(_zD D D对几何体、空间曲线、空间曲面绕某直线旋转的转动惯量有类似公式.(17)【解】 【解】 令 FQ) = =F(tt) =0.J 0由罗尔定理，存在c e (0,兀)，使得F(c)=o,即/Xc)=0.用反证法.不妨设在(0,71)内/(jf)除C外没有其他零点，则/(工)在(0,C)与(C,7T)内异 号，不妨设当z e (0,c)时，/(工) 0；当工6(C,兀)时,/(jc) 0 ,故(cos x 一 cos c)/(jc)cLz0而 (cos jc 一 cos c)/(jc )dr = cos xfjc )dz 一 cos c /(jt )dz = 09矛盾 9所以才(工)在 J 0 J 0 J 0(0,7T)内至少有两个零点.(18) L 解】|A* 1 = 8,由 |A* |=|A|3,得 |A| = 2.由 ABA 1 =BA 1 +3E,得 =B + 3A，解得(A -E)B =3A.于是 B =3(A -E)_1A =3A_1 (A -E)-1 =6(2E - 2A)_1 =6(2E -A* )_1 ,1000因为2E 0100A*，所以(2E -A * )-1010.030_6160000600于是B =6060230-1(19)【解】(I